Lección 9
Forma estándar y forma factorizada
- Escribamos expresiones cuadráticas en formas diferentes.
9.1: Conversación matemática: Los opuestos se atraen
Soluciona mentalmente cada ecuación.
\(40-8=40+n\)
\(25+\text-100=25-n\)
\(3-\frac12=3+n\)
\(72-n=72+6\)
9.2: Encontremos productos de diferencias
- Dibuja un diagrama o aplica la propiedad distributiva para mostrar que \((x-1)(x-1)\) y \(x^2 - 2x + 1\) son expresiones equivalentes. Muestra tu razonamiento.
- En cada caso, escribe una expresión que sea equivalente a la expresión dada. Muestra tu razonamiento.
- \((x+1)(x-1)\)
- \((x-2)(x+3)\)
- \((x-2)^2\)
9.3: ¿Qué es la forma estándar? ¿Qué es la forma factorizada?
La expresión cuadrática \(x^2 + 4x + 3\) está escrita en forma estándar.
Estas son otras expresiones cuadráticas. Las expresiones de la izquierda están escritas en forma estándar y las expresiones de la derecha no.
Están escritas en forma estándar:
\(x^2 – 1\)
\( x^2 + 9x\)
\(\frac12 x^2\)
\(4x^2 – 2x + 5\)
\(\text-3x^2 – x + 6\)
\(1 - x^2\)
No están escritas en forma estándar:
\((2x + 3)x\)
\((x+1)(x-1)\)
\(3(x-2)^2 +1\)
\( \text-4(x^2 + x) +7\)
\( (x+8)(\text{-}x+5)\)
- ¿Cuáles son algunas características de las expresiones escritas en forma estándar?
- \((x+1)(x-1)\) y \((2x + 3)x\), en la columna de la derecha, son expresiones cuadráticas escritas en forma factorizada. ¿Por qué crees que a la manera como están escritas se le llama forma factorizada?
¿Qué expresión cuadrática puede estar escrita en ambas formas a la vez (en forma estándar y en forma factorizada)? Explica cómo lo sabes.
Resumen
A menudo, una función cuadrática se puede representar con muchas expresiones equivalentes. Por ejemplo, una función cuadrática \(f\) podría estar definida por \(f(x) = x^2 + 3x + 2\). La expresión cuadrática \(x^2 + 3x + 2\) está escrita en forma estándar: es la suma de un múltiplo de \(x^2\) y una expresión lineal (en este caso, \(3x+2\)).
En general, la forma estándar se ve así \(\displaystyle ax^2 + bx + c\).
Nos referimos a \(a\) como el coeficiente del término al cuadrado \(x^2\), a \(b\) como el coeficiente del término lineal \(x\) y a \(c\) como el término constante.
La función \(f\) también se puede definir con la expresión equivalente \((x+2)(x+1)\). Cuando la expresión cuadrática es un producto de dos factores, en el que cada uno es una expresión lineal, se dice que está en forma factorizada.
Una expresión que está en forma factorizada se puede reescribir en forma estándar al desarrollarla, es decir, multiplicando sus factores. En una lección anterior vimos cómo usar un diagrama y cómo aplicar la propiedad distributiva para multiplicar dos expresiones lineales, como \((x+3)(x+2)\). Podemos hacer lo mismo para desarrollar una expresión que tiene una suma y una diferencia, como \((x+5)(x-2)\), o para desarrollar una expresión que tiene dos diferencias, como \((x-4)(x-1)\).
Para representar \((x-4)(x-1)\) con un diagrama, podemos pensar en la resta como la suma del opuesto:
| \(x\) | \(\text-4\) | |
|---|---|---|
| \(x\) | \(x^2\) | \(\text-4x\) |
| \(\text-1\) | \(\text-x\) | \(4\) |
Entradas del glosario
- forma estándar (de una expresión cuadrática)
La forma estándar de una expresión cuadrática en \(x\) es \(ax^2 + bx + c\), donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes, y \(a\) no es 0.
- forma factorizada (de una expresión cuadrática)
Decimos que una expresión cuadrática está en forma factorizada si está escrita como el producto de una constante multiplicada por dos factores lineales. Por ejemplo, tanto \(2(x-1)(x+3)\) como \((5x + 2)(3x-1)\) están en forma factorizada.