Lección 13

Grafiquemos funciones cuadráticas escritas en forma estándar (parte 2)

  • Cambiemos otras partes de una expresión cuadrática y veamos cómo influyen en la gráfica.

13.1: Expresiones equivalentes

  1. Completa cada fila con una expresión equivalente escrita en forma estándar o en forma factorizada.
    forma estándar forma factorizada
    \(x^2\)
    \(x(x+9)\)
    \(x^2-18x\)
    \(x(6-x)\)
    \(\text-x^2+10x\)
    \(\text-x(x+2.75)\)
  2. ¿Qué tienen en común las expresiones cuadráticas de cada columna (además del hecho de que todas las de la columna izquierda están en forma estándar y todas las de la otra columna están en forma factorizada)? Prepárate para compartir tus observaciones.

13.2: ¿Qué pasa con el término lineal?

  1. Con ayuda de tecnología:
    1. Grafica \(y=x^2\) y experimenta con la gráfica. Para ello, suma distintos términos lineales (por ejemplo, \(x^2 + 4x\), \(x^2 + 20x\), \(x^2 - 50x\)). Examina los resultados y anota tus observaciones.
    2. Grafica \(y=\text-x^2\) y experimenta con la gráfica. Para ello, suma distintos términos lineales. Anota tus observaciones.
  2. Usa tus observaciones como ayuda para completar la tabla sin graficar las ecuaciones.
    ecuación intersecciones con el eje \(x\) coordenada \(x\) del vértice
    \(y=x^2+6x\)
    \(y=x^2-10x\)
    \(y=\text-x^2+50x\)
    \(y=\text-x^2-36x\)
  3. Algunas expresiones cuadráticas no tienen términos lineales. Encuentra las intersecciones con el eje \(x\) y la coordenada \(x\) del vértice de la gráfica que representa cada ecuación. (Ten en cuenta que es posible que la gráfica no se interseque con el eje \(x\)). Si tienes dificultades, puedes graficar las ecuaciones.
    1. \(y=x^2 -25\)
    2. \(y=x^2 +16\)

13.3: Escribamos ecuaciones que le correspondan a las gráficas

En cada caso, usa tecnología para graficar una función que le corresponda a la gráfica dada. ¡Asegúrate de que tu gráfica pase por los 3 puntos que se muestran!

A

Coordinate plane, graph of a quadratic function, point at negative 1 comma 1, minimum at 0 comma 0, point at 1 comma 1.

Ecuación:

B

Coordinate plane, graph of a quadratic function, point at negative 3 comma 0, minimum at 0 comma negative 9, point at 3 comma 0.

Ecuación:

C

Coordinate plane, graph of a quadratic function, point at negative 2 comma 0, minimum at 0 point 5 comma negative 6 point 2 5, point at 3 comma 0.

Ecuación:

D

Coordinate plane, graph of a quadratic function, point at negative 6 comma 0, minimum at negative 3 comma negative 9, point at 0 comma 0.

Ecuación:

E

Coordinate plane, graph of a quadratic function, point at negative 2 comma 0, maximum at negative 0 comma 4, point at 2 comma 0.

Ecuación:

F

Coordinate plane, graph of a quadratic function, points at 0 comma 4, and 4 comma 4, minimum at 2 comma 0.

Ecuación:

G

Coordinate plane, graph of a quadratic function, point at negative 1 comma 0, maximum at 0 comma 3, point at 3 comma 0.

Ecuación:

H

Coordinate plane, graph of a quadratic function, opens up, point at 0 comma 5, point at 1 comma 0, point at 5 comma 0.

Ecuación:

I

Coordinate plane, graph of a quadratic function, point at negative 1 comma 2, minimum at 0 comma 0, point at 1 comma 2.
Ecuación:

J

Parabola. Opens down. Vertex at origin. Points on parabola include: -4 comma -4 and 4 comma -4.
Ecuación:

Resumen

En una lección anterior, vimos que una función cuadrática escrita en forma estándar, \(ax^2 + bx +c\), nos puede decir algunas cosas sobre la gráfica que representa. El coeficiente \(a\) nos puede decir si la gráfica de la función abre hacia arriba o hacia abajo, y también nos da información acerca de si es angosta o ancha. El término constante \(c\) nos puede decir algo acerca de su posición vertical.

Recuerda que la gráfica que representa \(y = x^2\) es una parábola que abre hacia arriba cuyo vértice está en \((0,0)\). En este caso, el vértice es también la intersección con el eje \(x\) y la intersección con el eje \(y\).

Supongamos que le sumamos 6 al término al cuadrado: \(y=x^2+6\). Sumar un 6 mueve la gráfica hacia arriba, así que el vértice está en \((0,6)\). En este caso, el vértice es la intersección con el eje \(y\) y la gráfica está centrada en el eje \(y \).

Coordinate plane, 2 graphs of quadratic functions. First, y = x squared has minimum at the origin. Next, y = x squared + 6 has minimum at 0 comma 6.

¿Qué nos puede decir el término lineal \(bx\) acerca de la gráfica que representa una función cuadrática?

El término lineal tiene un efecto un tanto misterioso sobre la gráfica de una función cuadrática. La gráfica parece moverse tanto horizontal como verticalmente. Cuando le sumamos \(bx\) (donde \(b\) es diferente de 0) a \(x^2\), la gráfica de \(y=x^2+bx\) ya no está centrada en el eje \(y\).

 Supongamos que le sumamos \(6x\) al término al cuadrado: \(y=x^2+6x\). Escribir la expresión \(x^2+6x\) en forma factorizada, es decir, como \(x(x+6)\), nos da los ceros de la función: 0 y -6. Sumar el término \(6x\) parece mover la gráfica a la izquierda y hacia abajo, y las intersecciones con el eje \(x\) ahora son \((\text-6,0)\) y \((0,0)\). El vértice ya no es la intersección con el eje \(y\) y la gráfica ya no está centrada en el eje \(y\).

Coordinate plane, 2 graphs of quadratic functions. First, y = x squared has minimum at the origin. Next, y = x squared + 6 x has minimum at negative 3 comma negative 9.

¿Qué pasa si le sumamos \(\text-6x\) a \(x^2\)? \(x^2-6x\) se puede reescribir como \(x(x-6)\), que nos dice los ceros: 0 y 6. Sumar un término lineal negativo al término al cuadrado parece mover la gráfica a la derecha y hacia abajo. Las intersecciones con el eje \(x\) ahora son \((0,0)\) y \((6,0)\). El vértice ya no es la intersección con el eje \(y\) y la gráfica ya no está centrada en el eje \(y\).

Coordinate plane, 2 graphs of quadratic functions. First, y = x squared has minimum at the origin. Next, y = x squared minus 6 x has minimum at 3 comma negative 9.