Lección 7

¿Cuál es diferente?

A

B

C

D

En una empresa que vende películas por internet están decidiendo cuánto cobrarle a sus clientes por descargar una nueva película. A partir de los datos de ventas anteriores, se predice que si se cobra \(x\) dólares por cada descarga, entonces el número de descargas, en miles, será \(18-x\).

1. Completa la tabla para mostrar el número de descargas que se predice de acuerdo a cada precio. Después, encuentra los ingresos que le corresponden a cada precio. Se incluye un ejemplo como ayuda.

   precio (dólares por cada descarga)	número de descargas (miles)	ingresos (miles de dólares)
   3	15	45
   5
   10
   12
   15
   18
   \(x\)

2. ¿La relación entre el precio por descargar la película y los ingresos (en miles de dólares) es una relación cuadrática? Explica cómo lo sabes.

3. Ubica los puntos que representan los ingresos, \(r\), como función del precio de una descarga, \(x\), en dólares.

   

   

4. ¿Qué precio recomendarías que la empresa cobrara por la descarga de una nueva película? Explica tu razonamiento.

Estos son 4 grupos de descripciones y ecuaciones que representan algunas funciones cuadráticas conocidas. Las gráficas muestran lo que se puede obtener al graficar las ecuaciones usando tecnología. En cada caso:

• Describe un dominio que sea adecuado para la situación. Piensa en cualquier extremo superior o inferior que pueda tomar la entrada de la función. Piensa también si todos los números tienen sentido como entradas. Después, describe cómo se debería modificar la gráfica para reflejar ese dominio que tiene sentido.
• Identifica o estima el vértice de la gráfica. Describe lo que significa en la situación.
• Identifica o estima los ceros de la función. Describe lo que significan en la situación.

1. El área de un rectángulo que tiene un perímetro de 25 metros y un lado de longitud \(x\): \(A (x)= x \boldcdot \frac{(25- 2x)}{2}\)

• Dominio:

• Vértice:

• Ceros:

2. El número de cuadrados como función del paso \(n\): \(f(n) = n^2 + 4\)

• Dominio:

• Vértice:

• Ceros:​​​

3. La distancia que un objeto que cae ha recorrido, en pies, \(t\) segundos después de que se suelta: \(g(t) =16t^2\)

• Dominio:

• Vértice:

• Ceros:

4. La altura, en pies, a la que está un objeto que cae \(t\) segundos después de que se suelta: \(h(t) = 576 - 16t^2\)

• Dominio:

• Vértice:

• Ceros:

Las funciones cuadráticas surgen a menudo al estudiar los ingresos. (Los ingresos son el dinero que alguien recibe cuando vende algo).

Supongamos que vamos a vender boletos para una rifa y estamos decidiendo cuánto cobrar por cada uno. Cuando el precio de los boletos es más alto, por lo general se venden menos boletos.

Digamos que a un precio de \(d\) dólares, es posible vender \(600 - 75d\) boletos. Para calcular los ingresos, podemos multiplicar el precio de un boleto y el número de boletos que se espera vender. Una función que modela los ingresos \(r\) que se reciben es \(r(d) = d(600-75d)\). Esta es una gráfica que representa la función.

Tiene sentido que los ingresos disminuyan después de cierto punto porque si el precio aumenta demasiado, cada vez menos gente comprará un boleto. A partir de la gráfica, podemos reconocer que el mayor ingreso, \$1,200, se obtiene al vender cada boleto a \$4.

También podemos ver que el dominio de la función \(r\) son todos los valores que están entre 0 y 8. Esto tienen sentido porque el costo de los boletos no puede ser negativo. Además, si el precio de cada boleto fuera mayor que \$8, el modelo no funcionaría porque los ingresos recibidos no pueden ser negativos. (En el peor de los casos, los ingresos son \$0).