Lección 10

Esta es una gráfica de la ecuación \(y = 8-2x\).

1. ¿En qué parte de la gráfica ves el 8 de la ecuación?
2. ¿En qué parte de la gráfica ves el -2 de la ecuación?
3. ¿Cuál es la intersección de la gráfica con el eje \(x\)?, ¿cómo se relaciona con la ecuación?

1. ¿La expresión \(10 + 78t - 16t^2\) está escrita en forma estándar? Explica cómo lo sabes.
2. Jada dijo que la ecuación \(g(t) = (\text-16t-2)(t-5)\), escrita en forma factorizada, también define esa función. Muestra que Jada tiene razón.
3. Esta es una gráfica que representa ambas, \(g(t) = (\text-16t-2)(t-5)\) y \(h(t) = 10 + 78t - 16t^2\).

   

   

   1. Identifica y estima las intersecciones con los ejes vertical y horizontal.
   2. ¿Qué significa cada uno de estos puntos en esta situación?

Estas son parejas de expresiones, una escrita en forma estándar y la otra en forma factorizada. Las expresiones de cada pareja definen la misma función cuadrática, que se puede representar con la gráfica dada.

1. Para cada gráfica, identifica las intersecciones con el eje \(x\) y con el eje \(y\).

   Función \(f\)

   \(x^2 + 4x + 3\)

   \((x + 3)(x+1)\)

   

   

   intersecciones con el eje \(x\):

   intersección con el eje \(y\):

   Función \(g\)

   \(x^2 - 5x + 4\)

   \((x - 4)(x-1)\)

   

   

   intersecciones con el eje \(x\):

   intersección con el eje \(y\):

   Función \(h\)

   \(x^2 - 9\)

   \((x - 3)(x+3)\)

   

   

   intersecciones con el eje \(x\):

   intersección con el eje \(y\):

   Función \(i\)

   \(x^2 - 5x\)

   \(x(x-5)\)

   

   

   intersecciones con el eje \(x\):

   intersección con el eje \(y\):

   Función \(j\)

   \(5x - x^2\)

   \(x(5-x)\)

   

   

   intersecciones con el eje \(x\):

   intersección con el eje \(y\):

   Función \(k\)

   \(x^2+4x+4\)

   \((x+2)(x+2)\)

   

   

   intersecciones con el eje \(x\):

   intersección con el eje \(y\):

2. ¿Qué observas acerca de las intersecciones con el eje \(x\), la intersección con el eje \(y\) y los números en las expresiones que definen cada función? Di un par de cosas que observes.

3. Esta es una expresión que modela la función \(p\), que es otra función cuadrática: \((x-9)(x-1)\). Predice las intersecciones con el eje \(x\) y la intersección con el eje \(y\) de la gráfica que representa esta función \(p\).

Las distintas formas en las que se escribe una función cuadrática nos pueden dar información interesante acerca de la gráfica de la función. Cuando una función cuadrática se expresa en forma estándar, esta forma nos da la intersección de la gráfica de la función con el eje \(y\). Por ejemplo, la gráfica que representa \(y=x^2 -5x + 7\) tiene su intersección con el eje \(y\) en \((0,7)\). Esto tiene sentido porque la coordenada \(y\) es el valor de \(y\) cuando \(x\) es 0. Si evaluamos la expresión en \(x=0\), nos da \(y=0^2-5(0)+7\), lo que es igual a 7.

Una función cuadrática puede expresarse en forma factorizada. Esta forma nos ayuda a ver las intersecciones de su gráfica con el eje \(x\). Examinemos las funciones \(f\), dada por \(f(x) = (x-4)(x-1)\), y \(g\), dada por \(g(x)=(x+2)(x+6)\).

Si graficamos \(y = f(x)\), vemos que las intersecciones de la gráfica con el eje \(x\) son \((1,0)\) y \((4,0)\). Observemos que “1” y “4” también aparecen en \(f(x) = (x-4)(x-1)\) y que ambos se le restan a \(x\).

Si graficamos \(y=g(x)\), vemos que las intersecciones con el eje \(x\) son \((\text-2,0)\) y \((\text-6,0)\). Observemos que “2” y “6” también aparecen en la ecuación \(g(x)=(x+2)(x+6)\), pero en este caso ambos se suman a \(x\).

La relación entre la forma factorizada y las intersecciones de la gráfica con el eje \(x\) nos dice cuáles son los ceros de la función (los valores de entrada que producen la salida 0). En la próxima lección, vamos a explorar a fondo estas relaciones entre las formas diferentes de escribir expresiones cuadráticas y las gráficas que ellas representan.