Lección 5

Estudia la tabla. ¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

Una piedra se deja caer desde la parte más alta de un edificio de 500 pies de altura. Una cámara captura la distancia total que la piedra ha recorrido, en pies, segundo a segundo.

1. ¿Qué distancia habrá caído la piedra al cabo de 6 segundos? Muestra tu razonamiento.
2. Jada observó que las distancias recorridas por la piedra, en cada uno de esos segundos, son múltiplos de 16.

   Ella escribió:

   \(\displaystyle \begin {align}16 &= 16 \boldcdot 1\\64 &= 16 \boldcdot 4\\144 &= 16 \boldcdot 9\\256 &= 16 \boldcdot 16\\400 &=16 \boldcdot 25 \end {align}\)
   Después, observó que 1, 4, 9, 16 y 25 son \(1^2, 2^2, 3^2, 4^2\) y \(5^2\), respectivamente.

   1. Usa las observaciones de Jada para predecir la distancia recorrida por la piedra al cabo de 7 segundos. (Supón que el edificio es lo suficientemente alto como para que un objeto que se deja caer desde la parte de arriba del edificio continúe cayendo durante por lo menos 7 segundos). Muestra tu razonamiento.
   2. Escribe una ecuación para la función, donde \(d\) represente la distancia recorrida por la piedra al cabo de \(t\) segundos.

Galileo Galilei, un científico italiano, y otros académicos medievales estudiaron el movimiento de objetos en caída libre. La ley que ellos descubrieron se puede expresar con la ecuación \(d = 16 \boldcdot t^2\), que da la distancia que un objeto recorre al caer, \(d\) (en pies), como función del tiempo que ha caído, \(t\) (en segundos).

Un objeto se suelta a una altura de 576 pies.

1. ¿Qué distancia recorre en 0.5 segundos?

2. Para determinar dónde está el objeto pocos segundos después de que lo soltaron, Elena y Diego crearon, cada uno, su propia tabla.

   Tabla de Elena:

   tiempo (segundos)	distancia recorrida (pies)
   0	0
   1	16
   2	64
   3
   4
   \(t\)

   Tabla de Diego:

   tiempo (segundos)	distancia al suelo (pies)
   0	576
   1	560
   2	512
   3
   4
   \(t\)

   1. ¿En qué se parecen estas dos tablas? ¿En qué se diferencian?
   2. Completa las tablas de Elena y Diego. Prepárate para explicar tu razonamiento.

La distancia recorrida por un objeto al caer durante cierta cantidad de tiempo es un ejemplo de una función cuadrática. Se dice que Galileo dejó caer balas de cañón de masas diferentes desde la torre inclinada de Pisa, que mide aproximadamente 190 pies de altura, para mostrar que las balas recorren la misma distancia en el mismo tiempo. De hecho, la ecuación \(d = 16t^2\) modela la distancia \(d\), en pies, que una bala de cañón recorre al caer durante \(t\) segundos, sin importar cuál sea su masa.

Como \(16 \boldcdot 4^2 = 256\) y la torre solo mide 190 pies de altura, la bala de cañón cae al suelo antes de 4 segundos.

Esta tabla muestra la distancia que recorre la bala de cañón al caer durante los primeros segundos.

tiempo (segundos)	distancia recorrida al caer (pies)
0	0
1	16
2	64
3	144

Estas son las parejas de tiempo y distancia ubicadas en un plano de coordenadas:

Observemos que la distancia recorrida al caer aumenta cada segundo. La tasa de cambio promedio aumenta cada segundo, lo que quiere decir que con el tiempo la bala de cañón está acelerando. Esto se debe a la influencia de la gravedad, que se ve reflejada en la expresión cuadrática \(16t^2\). El exponente 2 de esa expresión es el que hace que los valores de la expresión aumenten en cantidades más y más grandes.

Otra manera de estudiar el cambio de la posición de la bala de cañón es examinando su distancia al suelo como función del tiempo.

Esta tabla muestra la distancia de la bala al suelo, en pies, al cabo de 0, 1, 2 y 3 segundos.

tiempo (segundos)	distancia al suelo (pies)
0	190
1	174
2	126
3	46

Estas son las parejas de tiempo y distancia ubicadas en un plano de coordenadas:

La expresión que define la distancia al suelo como función del tiempo es \(190 - 16t^2\). Esta expresión nos dice que antes de que la bala de cañón se suelte, su distancia al suelo es 190 pies y que esa distancia inicial ha disminuido en \(16t^2\) al cabo de \(t\) segundos.