Lección 16

Se pueden usar expresiones escritas en formas distintas para definir la misma función. Estas son tres formas de definir una función \(f\).

¿Cuál forma usarías si quieres encontrar las siguientes características de la gráfica de \(f\)? Prepárate para explicar tu razonamiento.

1. las intersecciones con el eje \(x\)
2. el vértice
3. la intersección con el eje \(y\)

Estas dos ecuaciones definen funciones cuadráticas.

\(\displaystyle p(x) =\text-(x-4)^2 + 10\\ q(x) = \frac12(x-4)^2 + 10\)

1. La gráfica de \(p\) pasa por \((0,\text-6)\) y \((4,10)\), como se muestra en el plano de coordenadas.

   Encuentra las coordenadas de otro punto de la gráfica de \(p\). Explica o muestra tu razonamiento. Después, usa los puntos para dibujar la gráfica y márcala.

   

   

2. Identifica el vértice de la gráfica de \(q\) y otros dos puntos que estén en ella. Explica o muestra tu razonamiento. En el mismo plano de coordenadas, dibuja la gráfica de \(q\) y márcala.

3. Priya dice: “Una vez que sé que el vértice es \((4,10)\), puedo descubrir, sin graficar, si el vértice es el máximo o el mínimo de la función \(p\). Simplemente compararía las coordenadas del vértice con las coordenadas de un punto que esté a cualquier lado del vértice”.

   Completa la tabla y luego explica cómo podría haber razonado Priya acerca de si el vértice es el mínimo o el máximo.

   \(x\)	3	4	5
   \(p(x)\)		10

Tu profesor te dará varias tarjetas. Cada tarjeta tiene una ecuación o una gráfica que representa una función cuadrática. Por turnos, con tu compañero, empareja cada ecuación con una gráfica que represente la misma función.

• Para cada pareja que encuentres, explícale a tu compañero cómo sabes que esa gráfica y esa ecuación van juntas.
• Escucha con atención la explicación de tu compañero sobre cada pareja que encuentra. Si están en desacuerdo, discutan sus ideas y trabajen para llegar a un acuerdo.
• Cuando hayan emparejado todas las tarjetas, anota cada ecuación, dibuja y marca la gráfica correspondiente, y escribe una breve nota o explicación acerca de cómo sabías que iban juntas.

Ecuación:

Explicación:

Ecuación:

Explicación:

Ecuación:

Explicación:

Ecuación:

Explicación:

Ecuación:

Explicación:

Ecuación:

Explicación:

Vimos que la forma canónica es muy útil para encontrar el vértice de una gráfica de una función cuadrática. Por ejemplo, podemos saber que la función \(p\) dada por \(p(x) = (x-3)^2 + 1\) tiene un vértice en \((3,1)\).

Observamos también que cuando la expresión al cuadrado \((x-3)^2\) tiene un coeficiente positivo, la gráfica abre hacia arriba. Esto significa que el vértice \((3,1)\) representa el valor mínimo de la función.

Pero ¿por qué la función \(p\) toma su valor mínimo cuando \(x\) es 3?

Esta es una manera de explicarlo. Cuando \(x=3\), el término al cuadrado \((x-3)^2\) es igual a 0, pues \((3-3)^2 =0^2=0\). Cuando \(x\) es cualquier otro valor distinto de 3, el término al cuadrado \((x-3)^2\) es un número positivo mayor que 0 (al elevar al cuadrado cualquier número se obtiene un número positivo). Esto significa que la salida que corresponde a cualquier \(x \neq 3\) siempre será mayor que la salida que corresponde a \(x=3\), así que la función \(p\) tiene un valor mínimo en \(x=3\).  

Esta tabla muestra algunos valores de la función para algunos valores de \(x\). Observa que la salida tiene el menor valor cuando \(x=3\) y su valor aumenta cuando \(x\) aumenta y también cuando \(x\) disminuye.

\(x\)	0	1	2	3	4	5	6
\((x-3)^2+1\)	10	5	2	1	2	5	10

A veces, el término al cuadrado tiene un coeficiente negativo, por ejemplo: \(h(x)= \text-2(x+4)^2\). El valor de \(x\) que hace que \((x+4)^2\) sea igual a 0 es -4, porque \((\text-4+4)^2=0^2=0\). Cualquier otro valor de \(x\) hace que \((x+4)^2\) sea mayor que 0. Pero cuando \((x+4)^2\) se multiplica por un número negativo (-2), la expresión que resulta, \(\text-2(x+4)^2\), termina siendo negativa. Esto significa que la salida que corresponde a cualquier \(x \neq  \text-4\) siempre será menor que la salida que corresponde a \(x=\text-4\), así que la función \(h\) tiene su valor máximo cuando \(x =\text-4\).

Recuerda que podemos encontrar la intersección con el eje \(y\) de la gráfica que representa cualquier función que hayamos visto. La coordenada \(y\) de la intersección con el eje \(y\) es el valor de la función cuando \(x = 0\). Si \(g\) está definida por \(g(x)=(x+1)^2-5\), entonces la intersección con el eje \(y\) es \((0,\text-4)\) porque \(g(0)=(0+1)^2 -5=\text-4\). Su vértice está en \((\text-1,\text-5)\). Otro punto de la gráfica que tiene la misma coordenada \(y\) está ubicado a la misma distancia horizontal del vértice pero al otro lado.