Lección 16

Se pueden usar expresiones escritas en formas distintas para definir la misma función. Estas son tres formas de definir una función $f$.

¿Cuál forma usarías si quieres encontrar las siguientes características de la gráfica de $f$? Prepárate para explicar tu razonamiento.

1. las intersecciones con el eje $x$
2. el vértice
3. la intersección con el eje $y$

Estas dos ecuaciones definen funciones cuadráticas.

$\displaystyle p(x) =\text-(x-4)^2 + 10\\ q(x) = \frac12(x-4)^2 + 10$

1. La gráfica de $p$ pasa por $(0,\text-6)$ y $(4,10)$, como se muestra en el plano de coordenadas.

   Encuentra las coordenadas de otro punto de la gráfica de $p$. Explica o muestra tu razonamiento. Después, usa los puntos para dibujar la gráfica y márcala.

   

   

2. Identifica el vértice de la gráfica de $q$ y otros dos puntos que estén en ella. Explica o muestra tu razonamiento. En el mismo plano de coordenadas, dibuja la gráfica de $q$ y márcala.

3. Priya dice: “Una vez que sé que el vértice es $(4,10)$, puedo descubrir, sin graficar, si el vértice es el máximo o el mínimo de la función $p$. Simplemente compararía las coordenadas del vértice con las coordenadas de un punto que esté a cualquier lado del vértice”.

   Completa la tabla y luego explica cómo podría haber razonado Priya acerca de si el vértice es el mínimo o el máximo.

   $x$	3	4	5
   $p(x)$		10

Tu profesor te dará varias tarjetas. Cada tarjeta tiene una ecuación o una gráfica que representa una función cuadrática. Por turnos, con tu compañero, empareja cada ecuación con una gráfica que represente la misma función.

• Para cada pareja que encuentres, explícale a tu compañero cómo sabes que esa gráfica y esa ecuación van juntas.
• Escucha con atención la explicación de tu compañero sobre cada pareja que encuentra. Si están en desacuerdo, discutan sus ideas y trabajen para llegar a un acuerdo.
• Cuando hayan emparejado todas las tarjetas, anota cada ecuación, dibuja y marca la gráfica correspondiente, y escribe una breve nota o explicación acerca de cómo sabías que iban juntas.

Ecuación:

Explicación:

Ecuación:

Explicación:

Ecuación:

Explicación:

Ecuación:

Explicación:

Ecuación:

Explicación:

Ecuación:

Explicación:

Vimos que la forma canónica es muy útil para encontrar el vértice de una gráfica de una función cuadrática. Por ejemplo, podemos saber que la función $p$ dada por $p(x) = (x-3)^2 + 1$ tiene un vértice en $(3,1)$.

Observamos también que cuando la expresión al cuadrado $(x-3)^2$ tiene un coeficiente positivo, la gráfica abre hacia arriba. Esto significa que el vértice $(3,1)$ representa el valor mínimo de la función.

Pero ¿por qué la función $p$ toma su valor mínimo cuando $x$ es 3?

Esta es una manera de explicarlo. Cuando $x=3$, el término al cuadrado $(x-3)^2$ es igual a 0, pues $(3-3)^2 =0^2=0$. Cuando $x$ es cualquier otro valor distinto de 3, el término al cuadrado $(x-3)^2$ es un número positivo mayor que 0 (al elevar al cuadrado cualquier número se obtiene un número positivo). Esto significa que la salida que corresponde a cualquier $x \neq 3$ siempre será mayor que la salida que corresponde a $x=3$, así que la función $p$ tiene un valor mínimo en $x=3$.  

Esta tabla muestra algunos valores de la función para algunos valores de $x$. Observa que la salida tiene el menor valor cuando $x=3$ y su valor aumenta cuando $x$ aumenta y también cuando $x$ disminuye.

$x$	0	1	2	3	4	5	6
$(x-3)^2+1$	10	5	2	1	2	5	10

A veces, el término al cuadrado tiene un coeficiente negativo, por ejemplo: $h(x)= \text-2(x+4)^2$. El valor de $x$ que hace que $(x+4)^2$ sea igual a 0 es -4, porque $(\text-4+4)^2=0^2=0$. Cualquier otro valor de $x$ hace que $(x+4)^2$ sea mayor que 0. Pero cuando $(x+4)^2$ se multiplica por un número negativo (-2), la expresión que resulta, $\text-2(x+4)^2$, termina siendo negativa. Esto significa que la salida que corresponde a cualquier $x \neq  \text-4$ siempre será menor que la salida que corresponde a $x=\text-4$, así que la función $h$ tiene su valor máximo cuando $x =\text-4$.

Recuerda que podemos encontrar la intersección con el eje $y$ de la gráfica que representa cualquier función que hayamos visto. La coordenada $y$ de la intersección con el eje $y$ es el valor de la función cuando $x = 0$. Si $g$ está definida por $g(x)=(x+1)^2-5$, entonces la intersección con el eje $y$ es $(0,\text-4)$ porque $g(0)=(0+1)^2 -5=\text-4$. Su vértice está en $(\text-1,\text-5)$. Otro punto de la gráfica que tiene la misma coordenada $y$ está ubicado a la misma distancia horizontal del vértice pero al otro lado.