Lección 15

¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

 

Estos son los dos grupos de ecuaciones de funciones cuadráticas de la actividad anterior. En cada grupo, las expresiones que definen la salida son equivalentes. 

La expresión que define \(h\) está escrita en forma canónica. Podemos mostrar que es equivalente a la expresión que define \(f\) desarrollando la expresión:

\(\displaystyle \begin {align} (x+2)^2-4 &=(x+2)(x+2)-4\\ &=x^2+2x+2x+4-4\\ &=x^2+4x\\ \end{align}\)

1. Muestra que las expresiones que definen \(r\) y \(p\) son equivalentes.
2. Estas gráficas representan las funciones cuadráticas. ¿Por qué crees que, en inglés, expresiones como las que definen \(h\) y \(r\) se dice que están escritas en forma vértice?

   Gráfica de \(h\)

   

   

   Gráfica de \(r\)

   

   

1. Usa tecnología para graficar \(y=x^2\). Después, súmale distintos números a \(x\) antes de elevarla al cuadrado (por ejemplo, \(y=(x+4)^2\), \(y=(x-3)^2\)) y observa cómo cambia la gráfica. Anota tus observaciones.

2. Grafica \(y=(x-1)^2\). Después, experimenta. Hazle cada uno de los siguientes cambios a la función y mira cómo cambian la gráfica y el vértice:

   1. Sumarle distintos términos constantes a \((x-1)^2\) (por ejemplo: \((x-1)^2+5\), \((x-1)^2-9\)).
   2. Multiplicar \((x-1)^2\) por distintos coeficientes (por ejemplo: \(y=3(x-1)^2\), \(y=\text-2(x-1)^2\)).
3. Sin graficar, predice cuáles son las coordenadas del vértice de las gráficas de estas funciones cuadráticas y predice si la gráfica abre hacia arriba o abre hacia abajo. Por ahora, ignora la última fila (es para la siguiente pregunta). 

   ecuaciones	coordenadas del vértice	¿la gráfica abre hacia arriba o hacia abajo?
   \(y=(x+10)^2\)
   \(y = (x-4)^2 + 8\)
   \(y = \text-(x-4)^2 +8\)
   \(y=x^2 - 7\)
   \(y= \frac12(x + 3)^2 -5\)
   \(y= \text-(x+100)^2 + 50\)
   \(y = a(x+m)^2 + n\)

4. Usa tecnología para comprobar tus predicciones. Si son incorrectas, ajústalas. Después, completa la última fila de la tabla.

A veces, las expresiones que definen funciones cuadráticas se escriben en forma canónica, (forma vértice, en inglés). Por ejemplo, la función \(f\) definida por \(f(x)=(x-3)^2 + 4\), está escrita en forma canónica. Podemos dibujar esta gráfica para representar \(f\).

La forma canónica nos dice las coordenadas del vértice de la gráfica de una función cuadrática. La expresión \((x-3)^2\) revela que la coordenada \(x\) del vértice es 3 y el término constante 4 revela la coordenada \(y\) del vértice. En este caso, el vértice representa el valor mínimo de la función \(f\) y su gráfica abre hacia arriba.

En general, una función cuadrática expresada en forma canónica se escribe como: \(\displaystyle y = a(x-h)^2 + k\). El vértice de su gráfica está en \((h,k)\). La gráfica de la función cuadrática abre hacia arriba cuando el coeficiente \(a\) es positivo y abre hacia abajo cuando \(a\) es negativo.

En lecciones futuras, exploraremos con más detalle cómo \(a\), \(h\) y \(k\) influyen en la gráfica de una función cuadrática.