Lección 6

Un cañón está a 10 pies sobre el nivel del suelo. Desde este cañón se lanza una bala directamente hacia arriba con una velocidad de 406 pies por segundo.

Imagina que no hay gravedad y que la bala de cañón continúa desplazándose hacia arriba con la misma velocidad.

1. Completa la tabla con las alturas de la bala de cañón en diferentes tiempos.

   segundos	0	1	2	3	4	5	\(t\)
   distancia al suelo (pies)	10

2. Escribe una ecuación que modele la distancia de la bala al suelo, \(d\), en pies, \(t\) segundos después de ser disparada desde el cañón si no hubiera gravedad.

En otra actividad, completaste una tabla que representa la altura de una bala de cañón, en pies, como función del tiempo, en segundos, si no hubiera gravedad.

1. Esta tabla muestra la altura real de la bala en distintos momentos.

   segundos	0	1	2	3	4	5
   distancia al suelo (pies)	10	400	758	1,084	1,378	1,640

   Compara los valores de esta tabla con los de la tabla que completaste antes. Menciona por lo menos 2 cosas que observes.

2. 1. En el mismo plano de coordenadas, ubica los dos conjuntos de datos que tienes.

      

      

   2. ¿En qué se parecen las dos gráficas? ¿En qué se diferencian?
3. Escribe una ecuación para modelar la distancia real de la bala al suelo, \(d\), en pies, \(t\) segundos después de que se lanza desde el cañón. Si tienes dificultades, usa las diferencias entre las distancias y los efectos de la gravedad que vimos en una lección anterior.

La función definida por \(d=50+ 312t -16t^2\) da la altura de una bala de cañón, en pies, \(t\) segundos después de que ha salido del cañón.

1. ¿Qué nos dicen los términos 50, \(312t\) y \(\text{-}16t^2\) acerca de la bala de cañón?
2. Usa tecnología para graficar la función. Usa estas dimensiones para el rectángulo de vista: \(0 < x < 25\) y \(0 < y < 2,\!000\).

3. Observa la gráfica y:

   1. describe su forma. ¿Qué nos dice la forma de la gráfica acerca del movimiento de la bala de cañón?
   2. Estima la altura máxima que alcanza la bala. ¿Cuándo ocurre esto?
   3. Estima cuándo la bala cae al piso.
4. ¿Cuál dominio es adecuado para esta función? Explica tu razonamiento.

En esta lección, examinamos la altura de objetos que se lanzan hacia arriba y después bajan debido a la gravedad.

Desde una altura de 5 pies se lanza un objeto hacia arriba con una velocidad de 60 pies por segundo. Su altura \(h(t)\), en pies, al cabo de \(t\) segundos está modelada por la función \(h(t) = 5 + 60t - 16t^2\).

• La expresión lineal \(5 + 60t\) representa la altura a la que estaría el objeto en el tiempo \(t\) si no hubiera gravedad. En este caso, el objeto continuaría yendo hacia arriba a la misma velocidad con la que se lanzó. La gráfica sería una recta con una pendiente de 60, lo que está relacionado con la velocidad constante de 60 pies por segundo.
• La expresión \(\text-16t^2\) representa el efecto de la gravedad, que en algún momento hace que el objeto disminuya su velocidad, se detenga y comience a caer.

Observemos que la gráfica interseca el eje vertical en 5, lo que significa que el objeto se lanzó al aire cuando estaba a 5 pies del suelo. La gráfica indica que el objeto alcanza el pico de la altura a aproximadamente 60 pies, un poco antes de que hayan transcurrido 2 segundos. El pico es el punto de la gráfica donde la función alcanza un valor máximo. En ese punto, la curva cambia de dirección y la salida de la función pasa de ir aumentando a disminuir. Llamamos a ese punto, el vértice de la gráfica.

Esta es la gráfica de \(h\).

La gráfica que representa cualquier función cuadrática tiene un tipo especial de forma de “U” llamada parábola. En un próximo curso, van a aprender más acerca de la geometría de las parábolas. Cada parábola tiene un vértice, es decir, un punto en el que ella cambia de dirección —pasa de ser creciente a decreciente, o al contrario, de ser decreciente a ser creciente—.

El objeto cae al suelo un poco antes de 4 segundos desde que se lanzó al aire. Ese tiempo corresponde a la intersección de la recta con el eje horizontal. Un valor de entrada con el que se obtenga una salida de 0 se llama un cero de la función. Un cero de la función \(h\) es aproximadamente 3.8 porque \(h(3.8) \approx 0\).

En esta situación, los valores de entrada que son menores que 0 segundos o que son mayores que aproximadamente 3.8 segundos no tendrían sentido, así que un dominio adecuado para esta función incluiría todos los valores de \(t\) que están entre 0 y aproximadamente 3.8.