Lección 8

Expresiones cuadráticas equivalentes

  • Usemos diagramas como ayuda para reescribir expresiones cuadráticas.

8.1: Diagramas de productos

Rectangle divided into 2 smaller rectangles. Top labeled 6. Left side labeled 3 and 4.
  1. Explica por qué el diagrama muestra que \(6(3+4) = 6 \boldcdot 3 + 6 \boldcdot 4\).
  2. Dibuja un diagrama para mostrar que \(5(x+2) = 5x + 10\).

8.2: Dibujemos diagramas para representar más productos

Si desarrollamos \(4(x+2)\), es decir, aplicamos la propiedad distributiva para multiplicar los factores de \(4(x+2)\), obtenemos \(4x + 8\). Así sabemos que las dos expresiones son equivalentes. Podemos usar un rectángulo con longitudes de lado \((x+2)\) y 4 para ilustrar la multiplicación.
Rectangle, divided into 2 smaller rectangles. Top of left rectangle labeled x, top of right rectangle labeled 2. Side length labeled 4. Inside left rectangle, 4 x. Inside right rectangle, 8.
  1. Dibuja un diagrama para mostrar que \(n(2n+5)\) y \(2n^2 + 5n\) son expresiones equivalentes.
  2. En cada caso, escribe una expresión equivalente a la expresión dada usando la propiedad distributiva. Si tienes dificultades, puedes dibujar un diagrama.
    a. \(6\left(\frac13 n + 2\right)\)
    b. \(p(4p + 9)\)
    c. \(5r\left(r + \frac35\right)\)
    d. \((0.5w + 7)w\)

8.3: Usemos diagramas para encontrar expresiones cuadráticas equivalentes

  1. Este diagrama muestra un rectángulo que tiene longitudes de lado \(x+1\) y \(x+3\). Usa este diagrama para mostrar que \((x+1)(x+3)\) y \(x^2 + 4x+3\) son expresiones equivalentes.
    Large rectangle, divided into 4 smaller rectangles. Left rectangle on top labeled x, Right rectangle on top labeled 3. Top rectangle on left side labeled x, bottom rectangle on left side labeled 1.
  2. En cada caso, dibuja un diagrama como ayuda para escribir una expresión equivalente a la expresión dada:
    1. \((x+5)^2\)
    2. \(2x(x+4)\)
    3. \((2x+1)(x+3)\)
    4. \((x+m)(x+n)\)
  3. En cada caso, sin dibujar un diagrama, escribe una expresión equivalente a la expresión dada:
    1. \((x +2)(x + 6)\)
    2. \((x +5)(2x + 10)\)


Square, side length = x. 5 rectangles, width = x, length = 1. 6 squares with side length = 1.
  1. ¿Es posible organizar un cuadrado de \(x\) por \(x\), cinco rectángulos de \(x\) por 1 y seis cuadrados de 1 por 1 para formar un solo rectángulo grande? Explica o muestra tu razonamiento.
  2. ¿Qué te dice esto acerca de una expresión equivalente a \(x^2 + 5x + 6\)?
  3. ¿Hay algún otro número de cuadrados de 1 por 1, distinto de cero y de seis, que pudiéramos haber usado para organizar las figuras y formar un solo rectángulo grande?

Resumen

A menudo, una función cuadrática se puede definir con muchas expresiones diferentes que son equivalentes. Por ejemplo, antes vimos que los ingresos, en miles de dólares, que se predecían por la venta de descargas de una película a \(x\) dólares, se pueden expresar con \(x(18-x)\), lo que también se puede escribir como \(18x - x^2\). La primera expresión es el producto de \(x\) y \(18-x\) y la segunda expresión es una diferencia entre \(18x\) y \(x^2\), pero ambas expresiones representan la misma función.

Algunas veces, una expresión cuadrática es un producto de dos factores que son expresiones lineales, por ejemplo \((x+2)(x+3)\). Podemos escribir una expresión equivalente pensando que cada factor, \((x+2)\) y \((x+3)\), es la longitud de un lado del rectángulo y que cada longitud de lado se descompone en una expresión variable y en un número.
Rectangle divided into 4 smaller rectangles.

La multiplicación de \((x+2)\) y \((x+3)\) nos da el área del rectángulo grande. La suma de las áreas de los cuatro subrectángulos también da el área del rectángulo grande. Esto significa que \((x+2)(x+3)\) es equivalente a \(x^2 + 2x + 3x + 6\) o a \(x^2 + 5x + 6\).

Observemos que el diagrama ilustra la aplicación de la propiedad distributiva. Cada término de un factor (por ejemplo, la \(x\) y el 2 en \(x+2\)) se multiplica por cada término del otro factor (la \(x\) y el 3 en \(x+3\)).
Diagram showing distributive property.
En general, cuando una expresión cuadrática se escribe de la forma \((x+p)(x+q)\), podemos aplicar la propiedad distributiva para reescribirla como \(x^2 + px + qx + pq\) o como \(x^2 + (p+q)x + pq\).