Lección 2

¿Cómo cambia?

  • Describamos algunos patrones de cambio.

2.1: Cuadrados pequeños en una figura

¿De qué manera se representa en cada expresión el número de cuadrados pequeños que hay en la figura?
An image of a block of squares. There are eight squares on rows 1, 2, 3 and 4 and five squares on rows 5 and 6. There are six squares missing from the upper right corner of the block.
  • Expresión A: \(6 \boldcdot 8 - 2 \boldcdot 3\)
  • Expresión B: \(4 \boldcdot 8 + 2 \boldcdot 5\)
  • Expresión C: \(8+8+8+8+5+5\)
  • Expresión D: \(5 \boldcdot 6 + 3 \boldcdot 4\)

2.2: Patrones de puntos

Patrón 1

Pattern. Step 0,1 dot. Step 1, 3 dots, 2 by 2 with upper left dot removed. Step 2, 5 dots, 3 by 2 with upper left dot removed. Step 3, 7 dots, 4 by 2 with upper left dot removed.

Patrón 2

Pattern. Step 0, 0 dots. Step 1, 1 dot. Step 2, 4 dots, arranged 2 by 2. Step 3, 9 dots, arranged 3 by 3.
  1. Estudia los dos patrones de puntos.
    1. ¿Cómo está cambiando el número de puntos de cada patrón?
    2. ¿Cómo encontrarías el número de puntos que hay en el paso 5 de cada patrón?

  2. Completa la tabla con el número de puntos de cada patrón.

    paso número de puntos del patrón 1 número de puntos del patrón 2
    0
    1
    2
    3
    4
    5
    10
    \(n\)

  3. Grafica el número de puntos que hay en cada paso.

    Patrón 1

    Blank coordinate plane with grid, origin O. Horizontal axis from 0 to 6 by 1’s, labeled “step number”. Vertical axis from 0 to 30 by 5’s, labeled “number of dots”.

    Patrón 2

    Blank coordinate plane with grid, origin O. Horizontal axis from 0 to 6 by 1’s, labeled “step number”. Vertical axis from 0 to 30 by 5’s, labeled “number of dots”.
  4. Explica por qué las gráficas de los 2 patrones se ven de esa forma.

2.3: Expresemos un patrón de crecimiento

Three steps of a growing pattern.

Este es un patrón de cuadrados.

  1. ¿El número de cuadrados pequeños está aumentando linealmente? Explica cómo lo sabes.
  2. Completa la tabla.
    paso número de cuadrados pequeños
    1
    2
    3
    4
    5
    10
    12
    \(n\)
  3. ¿El número de cuadrados pequeños está aumentando exponencialmente? Explica cómo lo sabes.


Han escribió \(n(n+2) - 2(n-1)\) para describir el número de cuadrados pequeños que hay en el diseño en el paso \(n\).

  1. Explica por qué Han tiene razón.
  2. Marca la imagen de una manera que muestre la forma en la que Han vio el patrón cuando escribió su expresión.

Resumen

En esta lección, vimos algunas cantidades que cambian de una forma particular, pero el cambio no es ni lineal ni exponencial. Este es un patrón de figuras, junto con una tabla que muestra la relación entre el paso y el número de cuadrados pequeños.

Three steps of a growing pattern.
paso número total de cuadrados pequeños
1 2
2 5
3 10
\(n\) \(n^2+1\)

El número de cuadrados pequeños aumenta en 3 y después en 5, así que sabemos que el aumento no es lineal. El aumento tampoco es exponencial porque no cambia por el mismo factor cada vez. Del paso 1 al paso 2, el número de cuadrados pequeños aumenta por un factor de \(\frac{5}{2}\), mientras que del paso 2 al paso 3, aumenta por un factor de 2.

En el diagrama podemos ver que en el paso 2 hay un cuadrado de 2 por 2 y un cuadrado pequeño en la parte superior. De la misma manera, en el paso 3 hay un cuadrado de 3 por 3 y un cuadrado pequeño en la parte superior. En el paso \(n\) habrá un arreglo de \(n\) por \(n\) cuadrados pequeños y un cuadrado pequeño en la parte superior. Así, podemos concluir que la expresión para el número total de cuadrados pequeños es \(n^2 + 1\).

La relación entre el paso y el número de cuadrados pequeños es una relación cuadrática porque está dada por la expresión \(n^2 + 1\), que es un ejemplo de una expresión cuadrática. Investigaremos expresiones cuadráticas a fondo en lecciones futuras.

Entradas del glosario

  • expresión cuadrática

    Una expresión cuadrática en \(x\) es una expresión que es equivalente a una expresión de la forma \(ax^2 + bx + c\), donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes, y \(a \neq 0\).