Lección 4

Comparemos funciones cuadráticas y funciones exponenciales

  • Comparemos cambios cuadráticos y cambios exponenciales, y veámos cuál aumenta más rápido.

4.1: De menor a mayor

Sin evaluar cada expresión, escribe estas cantidades en orden, de menor a mayor. Prepárate para explicar tu razonamiento.

A. \(2^{10}\)

B. \(10^2\)

C. \(2^9\)

D. \(9^2\)

 

4.2: ¿Cuál crece más rápido?

  • En el patrón A, el largo y el ancho del rectángulo aumentan en 1 de cada paso al siguiente.
  • En el patrón B, el número de cuadrados pequeños se duplica de cada paso al siguiente.
  • En cada patrón, el número de cuadrados pequeños es una función del paso, \(n\).

Patrón A

Four steps of a growing pattern. Step 0 is blank. Step 1: One square.  Step 2: Four squares in a two by two square. Step 3: Nine squares in a three by three square.

Patrón B

Four steps of a growing pattern. Step 0: One square. Step 1: Two squares, one atop the other.  Step 2: Four squares in a two by two square. Step 3: Eight squares in a two by four rectangle.
  1. Escribe una ecuación que represente el número de cuadrados pequeños en el paso \(n\) del patrón A.
  2. ¿Esta función es lineal, cuadrática o exponencial?
  3. Completa la tabla:
    \(n\), paso \(f(n)\), número de cuadrados pequeños
    0
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
  1. Escribe una ecuación que represente el número de cuadrados pequeños en el paso \(n\) del patrón B.
  2. ¿Esta función es lineal, cuadrática o exponencial?
  3. Completa la tabla:
    \(n\), paso \(g(n)\), número de cuadrados pequeños
    0
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8

Si estos dos patrones siguen creciendo, ¿en qué se parecerán o se diferenciarán? Menciona una o dos cosas que observes.

4.3: Comparemos otras dos funciones

Estas son dos funciones: \(p(x) = 6x^2\) y \(q(x) = 3^x\).

Investiga la salida de \(p\) y la salida de \(q\) ccuando \(x\) toma distintos valores. Para valores suficientemente grandes de \(x\), una función tendrá un valor mayor que la otra. ¿Cuál función tendrá un valor mayor a medida que \(x\) aumenta?

Justifica tu respuesta usando tablas, gráficas u otras representaciones.



  1. Jada dice que a medida que \(x\) aumenta, algunas funciones exponenciales crecen más despacio que una función cuadrática. ¿Estás de acuerdo con Jada? Explica tu razonamiento.
  2. Sea \(f(x) = x^2\). ¿Puedes encontrar una función exponencial \(g(x)=b^x\) tal que \(g(x) < f(x)\) para todos los valores de \(x\)?

Resumen

Hemos visto que las gráficas de funciones cuadráticas se pueden curvar hacia arriba. Las gráficas de las funciones exponenciales que tienen una base mayor que 1 también se curvan hacia arriba. Para comparar estos dos tipos de funciones, examinemos la expresión cuadrática \(3n^2\) y la expresión exponencial \(2^n\).

Una tabla de valores muestra que al principio \(3n^2\) es mayor que \(2^n\), pero que, a partir de cierto punto, \(2^n\) se vuelve más grande.

\(n\) \(3n^2\) \(2^n\)
1 3 2
2 12 4
3 27 8
4 48 16
5 75 32
6 108 64
7 147 128
8 192 256

También vimos una explicación sobre por qué, en algún momento, el crecimiento exponencial supera al crecimiento cuadrático.

  • Si \(n\) aumenta en 1, la expresión exponencial \(2^n\) siempre aumenta por un factor de 2.
  • La expresión cuadrática \(3n^2\) aumenta por factores diferentes, dependiendo de \(n\), pero estos factores se vuelven menores. Por ejemplo, si \(n\) aumenta de 2 a 3, el factor es \(\frac{27}{12}\) o 2.25. Si \(n\) aumenta de 6 a 7, el factor es \(\frac {147}{108}\) o aproximadamente 1.36. A medida que \(n\) va tomando valores más y más grandes, \(3n^2\) aumenta por un factor que es cada vez más cercano a 1.

Una cantidad que siempre se duplica terminará superando a una cantidad que aumenta por ese factor que es menor en cada paso.

Entradas del glosario

  • función cuadrática
    Una función en la que la salida está dada por una expresión cuadrática en la entrada.