Lección 1

Otro tipo de cambio

  • Encontremos el rectángulo que tiene el área más grande.

1.1: Observa y pregúntate: Tres tablas

Examina los patrones de las 3 tablas. ¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

\(x\) \(y\)
1 0
2 5
3 10
4 15
5 20
\(x\) \(y\)
1 3
2 6
3 12
4 24
5 48
\(x\) \(y\)
1 8
2 11
3 10
4 5
5 -4

1.2: Midamos un jardín

Noah tiene 50 metros de cerca para encerrar completamente un jardín rectangular en el patio trasero.

  1. Dibuja diagramas posibles del jardín de Noah. Marca el largo y el ancho de cada rectángulo.

    vegetable garden
  2. Encuentra el largo y el ancho del rectángulo con los que se obtendría la mayor área posible. Explica o muestra por qué crees que esa pareja de valores de largo y ancho da la mayor área posible.

1.3: Grafiquemos las medidas del jardín

  1. Ubica en el plano de coordenadas algunos valores del largo y del área del jardín.
    Blank coordinate plane. Horizontal axis, length of garden in meters, 0 to 30 by 5’s. Vertical axis, area of garden in square meters, 0 to 200 by 25’s.
  2. ¿Qué observas acerca de los puntos que ubicaste?
  3. Cada uno de los puntos \((3,66)\) y \((22,66)\) representa el largo y el área del jardín. Si aún no lo has hecho, ubica estos 2 puntos en el plano de coordenadas. ¿Qué significan estos puntos en esta situación?
  4. ¿El punto \((1,25)\) podría representar el largo y el área del jardín? Explica cómo lo sabes.


  1. ¿Qué le ocurre al área si cambias el largo por el ancho? Por ejemplo, compara el área de un rectángulo que mide 11 metros de largo y 14 metros de ancho con el área de un rectángulo que mide 14 metros de largo y 11 metros de ancho.
  2. ¿Qué patrones observarías si ubicaras más parejas de largo y área en la gráfica?

Resumen

En esta lección, examinamos la relación que hay entre la longitud de los lados y el área de un rectángulo cuando el perímetro no cambia.

Si el perímetro de un rectángulo es 40 pulgadas, podemos representar largos y anchos posibles como se muestra en la tabla.

Sabemos que dos veces el largo y dos veces el ancho debe ser igual a 40, lo que significa que el largo más el ancho debe ser igual a 20 o que \(\ell + w = 20\).

largo (pulgadas) ancho (pulgadas)
2 18
5 15
10 10
12 8
15 5

Para encontrar el ancho cuando se nos da el largo \(\ell\), podemos escribir: \(w= 20- \ell\).

La relación entre el largo y el ancho es lineal. Si graficamos los puntos de la tabla que representan el largo y el ancho, ellos forman una recta.

Points plotted. Horizontal axis, length in inches, 0 to 24 by 4’s. Vertical axis, width in inches, 0 to 40 by 10’s. Points at 2 comma 18, 5 comma 15, 10 comma 10, 12 comma 8, 15 comma 5.

¿Qué podemos decir de la relación que hay entre las longitudes de los lados y el área de los rectángulos con un perímetro de 40 pulgadas?

Estas son las áreas de distintos rectángulos cuyo perímetro es de 40 pulgadas.

largo (pulgadas) ancho (pulgadas) área (pulgadas cuadradas)
2 18 36
5 15 75
10 10 100
12 8 96
15 5 75

Esta es una gráfica de los largos y las áreas que se hizo a partir de la tabla:

Points plotted. Horizontal axis, length in inches, 0 to 24 by 4’s. Vertical axis, area in square inches, 0 to 125 by 25’s. Points at 2 comma 36, 5 comma 75, 10 comma 100, 12 comma 96, 15 comma 75.

Observemos que, al principio, a medida que el largo del rectángulo aumenta, (por ejemplo, de 5 a 10 pulgadas), el área también aumenta (de 75 a 100 pulgadas cuadradas). Sin embargo, más adelante, a medida que el largo aumenta (por ejemplo, de 12 a 15), el área disminuye (de 96 a 75).

Todavía no hemos estudiado relaciones como esta, pero en esta unidad las investigaremos más a fondo.