Lección 3

La figura A es un cuadrado grande. La figura B es un cuadrado grande al que se le ha quitado un cuadrado más pequeño. La figura C está compuesta por dos cuadrados grandes y un cuadrado pequeño.

Figura A

Figura B

Figura C

Si la longitud del lado del cuadrado grande es la que se muestra en la primera columna de la tabla, escribe una expresión que represente el área de cada figura sombreada.

1. Si el patrón continúa, ¿qué veremos en el paso 5?, ¿y en el paso 18?
   1. Dibuja o describe la figura que hay en cada uno de estos pasos.
   2. ¿Cuántos cuadrados pequeños hay en cada uno de estos pasos? Explica cómo lo sabes.
2. Escribe una ecuación que represente la relación entre el paso \(n\) y el número de cuadrados \(y\). Prepárate para explicar de qué manera cada parte de tu ecuación se relaciona con el patrón. (Si tienes dificultades, puedes hacer una tabla).
3. Dibuja los primeros 3 pasos de un patrón que se pueda representar con la ecuación \(y = n^2 - 1\).

1. Dibuja el siguiente paso en el patrón.
2. Kiran dice que el patrón está aumentando linealmente porque a medida que el paso aumenta en 1, tanto el número de filas como el número de columnas también aumentan en 1. ¿Estás de acuerdo? Explica tu razonamiento.
3. Diego y Jada escribieron ecuaciones distintas para representar el número de cuadrados al cabo de \(n\) pasos. Diego escribió la ecuación \(f(n)=n (n+2)\). Jada escribió la ecuación \(f(n) = n^2 + 2n\). ¿Alguno de los dos tiene razón? Explica tu razonamiento.

Algunas veces una relación cuadrática se puede expresar sin usar un término al cuadrado. Por ejemplo, consideremos este patrón de cuadrados.

A partir de los 3 primeros pasos, podemos ver que tanto el largo como el ancho del rectángulo aumentan en 1 en cada paso. En el paso 1 hay un rectángulo de 1 por 2, en el paso 2 hay un rectángulo de 2 por 3 y en el paso 3 hay un rectángulo de 3 por 4. Esto sugiere que en el paso \(n\) hay un rectángulo de longitudes de los lados \(n\) y \(n+1\), así que el número de cuadrados en el paso \(n\) es \(n(n+1)\).

Puede que esta expresión no se vea como una expresión cuadrática con un término al cuadrado, como vimos en una lección anterior, pero si usamos la propiedad distributiva, podemos ver que \(n(n+1)\) es equivalente a \(n^2 + n\).

También podemos mostrar visualmente que estas expresiones son equivalentes si partimos cada rectángulo en un cuadrado de \(n\) por \(n\) (la \(n^2\) en la expresión) y un rectángulo de \(n\) por \(1\) (la \(n\) en la expresión).

La relación entre el paso y el número de cuadrados se puede describir con una función cuadrática \(f\) que tiene \(n\) como entrada y el número de cuadrados en el paso \(n\) como salida. Podemos definir \(f\) como \(f(n) = n(n+1)\) o \(f(n) = n^2 + n\).