Lección 11

Esta es una gráfica de una función $w$ definida por $w(x)=(x+1.6)(x-2)$. En la gráfica están marcados tres puntos.

Encuentra los valores de $a,b,c,d,e$ y $f$. Prepárate para explicar tu razonamiento.

Considera dos funciones definidas por $f(x) = x(x+4)$ y $g(x) = x(x-4)$.

1. Completa la tabla de valores para cada función. Después, determina cuáles son las intersecciones con el eje $x$ y el vértice de cada gráfica. Prepárate para explicar cómo lo sabes.

   $x$	$f(x)$
   -5	5
   -4
   -3
   -2	-4
   -1	-3
   0
   1
   2
   3
   4	32
   5

   Intersecciones con el eje $x$:

   Vértice:

   $x$	$g(x)$
   -5	45
   -4
   -3
   -2	12
   -1	5
   0
   1
   2
   3	-3
   4
   5

   Intersecciones con el eje $x$:

   Vértice:

2. Ubica los puntos de las tablas en el mismo plano de coordenadas. (Considera usar colores o marcas diferentes para cada conjunto de puntos, de modo que puedas distinguir las funciones).

   Luego, menciona un par de cosas que observes acerca de en qué se parecen o diferencian las dos gráficas.

   

   

   ​​​​​​

1. The functions $f$, $g$, and $h$ are given. Predict the $x$-intercepts and the $x$-coordinate of the vertex of each function.

   equation	$x$-intercepts	$x$-coordinate of the vertex
   $f(x)=(x+3)(x-5)$
   $g(x)=2x(x-3)$
   $h(x)=(x+4)(4-x)$

2. Use graphing technology to graph the functions $f$, $g$, and $h$. Use the graphs to check your predictions.
3. Sketch a graph that represents the expression $(x-7)(x+11)$ and that shows the $x$-intercepts and the vertex. Think about how to find the $y$-coordinate of the vertex. Be prepared to explain your reasoning.

===== A AT =====

1. Dadas las funciones $f$, $g$ y $h$, predice cuáles son las intersecciones con el eje $x$ y la coordenada $x$ del vértice de cada función.

   ecuación	intersecciones con el eje $x$	coordenada $x$ del vértice
   $f(x)=(x+3)(x-5)$
   $g(x)=2x(x-3)$
   $h(x)=(x+4)(4-x)$

2. Usa tecnología para graficar las funciones $f$, $g$ y $h$. Usa las gráficas para comprobar tus predicciones.
3. Dibuja una gráfica que represente la expresión $(x-7)(x+11)$ y que muestre las intersecciones con el eje $x$ y el vértice. Piensa en cómo encontrar la coordenada $y$ del vértice. Prepárate para explicar tu razonamiento.

La función $f$ dada por $f(x) = (x+1)(x-3)$ está escrita en forma factorizada. Recuerda que esta forma es útil para encontrar los ceros de la función (es decir, donde la función tiene valor 0) y para decirnos cuáles son las intersecciones con el eje $x$ en la gráfica que representa la función.

Esta es una gráfica que representa $f$. La gráfica muestra 2 intersecciones con el eje $x$ en $x = \text-1$ y $x = 3$.

Si usamos -1 y 3 como entradas de $f$, ¿cuáles son las salidas?

• $f(\text-1)=(\text-1+1)(\text-1-3)=(0)(\text-4)=0$
• $f(3)=(3+1)(3-3)=(4)(0)=0$

Dado que con las entradas -1 y 3 se obtiene una salida de 0, los valores -1 y 3 son los ceros de la función $f$. Y como para ambos valores de $x$ el valor de $y$ es cero, también nos dan las intersecciones con el eje $x$ de la gráfica (los puntos en los que la gráfica se cruza con el eje $x$, cuya coordenada $y$ siempre es 0). Así, los ceros de una función tienen los mismos valores que las coordenadas $x$ de las intersecciones con el eje $x$ de la gráfica de la función.

La forma factorizada también nos puede ayudar a identificar el vértice de la gráfica, que es el punto en el que la función alcanza su valor mínimo. Como 1 está en la mitad entre -1 y 3, podemos concluir que la coordenada $x$ del vértice es 1. Una vez que sabemos la coordenada $x$ del vértice, podemos encontrar la coordenada $y$ evaluando la función: $f(1) = (1+1)(1-3) = 2 (\text-2) = \text-4$. Así que el vértice está en $(1,\text-4)$.

Cuando una función cuadrática está escrita en forma estándar, la intersección con el eje $y$ es clara: su coordenada $y$ es el término constante $c$ en $ax^2 +bx+c$. Para encontrar la intersección con el eje $y$ cuando la expresión está en forma factorizada, podemos evaluar la función en $x =0$, porque la intersección con el eje $y$ es el punto en el que la gráfica tiene un valor de entrada de 0. $f(0) = (0+1)(0-3) = (1)(\text-3) = \text-3$.