Lección 11

Esta es una gráfica de una función \(w\) definida por \(w(x)=(x+1.6)(x-2)\). En la gráfica están marcados tres puntos.

Encuentra los valores de \(a,b,c,d,e\) y \(f\). Prepárate para explicar tu razonamiento.

Considera dos funciones definidas por \(f(x) = x(x+4)\) y \(g(x) = x(x-4)\).

1. Completa la tabla de valores para cada función. Después, determina cuáles son las intersecciones con el eje \(x\) y el vértice de cada gráfica. Prepárate para explicar cómo lo sabes.

   \(x\)	\(f(x)\)
   -5	5
   -4
   -3
   -2	-4
   -1	-3
   0
   1
   2
   3
   4	32
   5

   Intersecciones con el eje \(x\):

   Vértice:

   \(x\)	\(g(x)\)
   -5	45
   -4
   -3
   -2	12
   -1	5
   0
   1
   2
   3	-3
   4
   5

   Intersecciones con el eje \(x\):

   Vértice:

2. Ubica los puntos de las tablas en el mismo plano de coordenadas. (Considera usar colores o marcas diferentes para cada conjunto de puntos, de modo que puedas distinguir las funciones).

   Luego, menciona un par de cosas que observes acerca de en qué se parecen o diferencian las dos gráficas.

   

   

   ​​​​​​

1. The functions \(f\), \(g\), and \(h\) are given. Predict the \(x\)-intercepts and the \(x\)-coordinate of the vertex of each function.

   equation	\(x\)-intercepts	\(x\)-coordinate of the vertex
   \(f(x)=(x+3)(x-5)\)
   \(g(x)=2x(x-3)\)
   \(h(x)=(x+4)(4-x)\)

2. Use graphing technology to graph the functions \(f\), \(g\), and \(h\). Use the graphs to check your predictions.
3. Sketch a graph that represents the expression \((x-7)(x+11)\) and that shows the \(x\)-intercepts and the vertex. Think about how to find the \(y\)-coordinate of the vertex. Be prepared to explain your reasoning.

===== A AT =====

1. Dadas las funciones \(f\), \(g\) y \(h\), predice cuáles son las intersecciones con el eje \(x\) y la coordenada \(x\) del vértice de cada función.

   ecuación	intersecciones con el eje \(x\)	coordenada \(x\) del vértice
   \(f(x)=(x+3)(x-5)\)
   \(g(x)=2x(x-3)\)
   \(h(x)=(x+4)(4-x)\)

2. Usa tecnología para graficar las funciones \(f\), \(g\) y \(h\). Usa las gráficas para comprobar tus predicciones.
3. Dibuja una gráfica que represente la expresión \((x-7)(x+11)\) y que muestre las intersecciones con el eje \(x\) y el vértice. Piensa en cómo encontrar la coordenada \(y\) del vértice. Prepárate para explicar tu razonamiento.

La función \(f\) dada por \(f(x) = (x+1)(x-3)\) está escrita en forma factorizada. Recuerda que esta forma es útil para encontrar los ceros de la función (es decir, donde la función tiene valor 0) y para decirnos cuáles son las intersecciones con el eje \(x\) en la gráfica que representa la función.

Esta es una gráfica que representa \(f\). La gráfica muestra 2 intersecciones con el eje \(x\) en \(x = \text-1\) y \(x = 3\).

Si usamos -1 y 3 como entradas de \(f\), ¿cuáles son las salidas?

• \(f(\text-1)=(\text-1+1)(\text-1-3)=(0)(\text-4)=0\)
• \(f(3)=(3+1)(3-3)=(4)(0)=0\)

Dado que con las entradas -1 y 3 se obtiene una salida de 0, los valores -1 y 3 son los ceros de la función \(f\). Y como para ambos valores de \(x\) el valor de \(y\) es cero, también nos dan las intersecciones con el eje \(x\) de la gráfica (los puntos en los que la gráfica se cruza con el eje \(x\), cuya coordenada \(y\) siempre es 0). Así, los ceros de una función tienen los mismos valores que las coordenadas \(x\) de las intersecciones con el eje \(x\) de la gráfica de la función.

La forma factorizada también nos puede ayudar a identificar el vértice de la gráfica, que es el punto en el que la función alcanza su valor mínimo. Como 1 está en la mitad entre -1 y 3, podemos concluir que la coordenada \(x\) del vértice es 1. Una vez que sabemos la coordenada \(x\) del vértice, podemos encontrar la coordenada \(y\) evaluando la función: \(f(1) = (1+1)(1-3) = 2 (\text-2) = \text-4\). Así que el vértice está en \((1,\text-4)\).

Cuando una función cuadrática está escrita en forma estándar, la intersección con el eje \(y\) es clara: su coordenada \(y\) es el término constante \(c\) en \(ax^2 +bx+c\). Para encontrar la intersección con el eje \(y\) cuando la expresión está en forma factorizada, podemos evaluar la función en \(x =0\), porque la intersección con el eje \(y\) es el punto en el que la gráfica tiene un valor de entrada de 0. \(f(0) = (0+1)(0-3) = (1)(\text-3) = \text-3\).