Lección 12

Las gráficas A, B y C representan 3 ecuaciones lineales: \(y = 2x+4\), \(y = 3-x\) y \(y =3x-2\). ¿Cuál gráfica le corresponde a cada ecuación? Explica tu razonamiento.

Con ayuda de tecnología, grafica \(y=x^2\) y luego ensaya hacerle cada uno de los siguientes cambios a la función. Anota lo que observes (si te ayuda, incluye dibujos).

1. 1. Completa la tabla con los valores de \(x^2+10\) y de \(x^2-3\) al tomar distintos valores de \(x\). (También puedes usar una hoja de cálculo si está disponible).

      \(x\)	-3	-2	-1	0	1	2	3
      \(x^2\)	9	4	1	0	1	4	9
      \(x^2+10\)
      \(x^2-3\)

   2. Anteriormente, observaste el efecto que tenía sobre la gráfica sumarle o restarle un término constante a \(x^2\). Estudia los valores de la tabla. Úsalos para explicar por qué las gráficas cambiaron de la forma que lo hicieron cuando se sumaba o restaba un término constante.
2. 1. Completa la tabla con los valores de \(2x^2\), \(\frac12x^2\) y \(\text-2x^2\) al tomar distintos valores de \(x\). (También puedes usar una hoja de cálculo si está disponible).

      \(x\)	-3	-2	-1	0	1	2	3
      \(x^2\)	9	4	1	0	1	4	9
      \(2x^2\)
      \(\frac12 x^2\)
      \(\text -2x^2\)

   2. También observaste el efecto que tenía sobre la gráfica multiplicar \(x^2\) por distintos coeficientes. Estudia los valores de la tabla. Úsalos para explicar por qué las gráficas cambiaron de la forma que lo hicieron cuando \(x^2\) se multiplicaba por un número mayor que 1, por un número negativo menor o igual a -1 y por números entre -1 y 1.

El profesor les dará varias tarjetas. Cada tarjeta tiene una gráfica o una ecuación.

• Por turnos, con tu compañero, clasifica las tarjetas en grupos de tal manera que cada grupo tenga dos ecuaciones y una gráfica que representen la misma función cuadrática.
• Para cada grupo de tarjetas que juntaste, explícale a tu compañero cómo sabes que esas ecuaciones y esa gráfica van juntas.
• Escucha con atención la explicación de tu compañero sobre cada grupo que haya armado. Si están en desacuerdo, discutan sus ideas y trabajen para llegar a un acuerdo.
• Una vez que hayan clasificado todas las tarjetas y hayan discutido sobre ellas, escribe las ecuaciones equivalentes, dibuja la gráfica correspondiente y escribe una nota o explicación breve acerca de por qué se agruparon las representaciones.

 

Recuerda que la gráfica que representa cualquier función cuadrática es una figura llamada parábola. Con frecuencia, las personas dicen que una párabola “abre hacia arriba” cuando el punto más bajo de la gráfica es el vértice (punto donde la gráfica cambia de dirección) y “abre hacia abajo” cuando el punto más alto de la gráfica es el vértice. Cada coeficiente de una expresión cuadrática escrita en forma estándar (es decir, \(ax^2 + bx+ c\)) nos dice algo importante acerca de la gráfica que representa.

La gráfica de \(y=x^2\) es una parábola que abre hacia arriba y su vértice está en \((0,0)\). Sumar un término constante 5 da \(y = x^2 + 5\) y desplaza la gráfica 5 unidades hacia arriba. Restarle 4 a \(x^2\) da \(y=x^2-4\) y desplaza la gráfica 4 unidades hacia abajo.

Una tabla de valores nos puede ayudar a ver que sumarle 5 a \(x^2\) aumenta en 5 todos los valores de salida de \(y = x^2\), lo que explica por qué la gráfica se desplaza 5 unidades hacia arriba. Restarle 4 a \(x^2\) disminuye en 4 todos los valores de salida de \(y = x^2\), lo que explica por qué la gráfica se desplaza 4 unidades hacia abajo.

En general, el término constante de una expresión cuadrática escrita en forma estándar influye en la posición vertical de la gráfica. Una expresión sin término constante (como \(x^2\) o \(x^2 +9x\)) significa que el término constante es 0, así que la intersección con el eje \(y\) de la gráfica está en el eje \(x\). La gráfica no se desplaza ni hacia arriba ni hacia abajo con respecto al eje \(x\).

El coeficiente del término al cuadrado de una función cuadrática también nos dice algo acerca de su gráfica. El coeficiente del término al cuadrado de \(y = x^2\) es 1. Su gráfica es una parábola que abre hacia arriba.

• Multiplicar \(x^2\) por un número mayor que 1 hace que la gráfica sea más empinada, por lo que la parábola es más angosta que la que representa \(x^2\).
• Multiplicar \(x^2\) por un número menor que 1 pero mayor que 0 hace que la gráfica sea menos empinada, por lo que la parábola es más ancha que la que representa \(x^2\).
• Multiplicar \(x^2\) por un número menor que 0 hace que la parábola abra hacia abajo.

Si comparamos los valores de salida de \(2x^2\) y \(\text-2x^2\), vemos que son opuestos, lo que sugiere que una gráfica sería una reflexión de la otra con respecto al eje \(x\).