Lección 17

Estas gráficas representan las funciones \(f\) y \(g\), dadas por \(f(x) = x(x+6)\) y \(g(x) = x(x+6)+4\).

1. ¿Cuál gráfica le corresponde a cada función? Explica cómo lo sabes.
2. ¿Dónde se encuentra la gráfica de \(f\) con el eje \(x\)? Explica cómo lo sabes.

1. ¿Cómo cambiarías la ecuación \(y=x^2\) para que el vértice de la gráfica de la nueva ecuación se ubique en las siguientes coordenadas y la gráfica abra como se describe?
   1. \((0,11)\), abre hacia arriba
   2. \((7,11)\), abre hacia arriba
   3. \((7,\text-3)\), abre hacia abajo
2. Usa tecnología para graficar y verifica tus predicciones. Si es necesario, ajusta tus ecuaciones.

3. Kiran graficó la ecuación \(y=x^2+1\) y observó que el vértice estaba en \((0,1)\). Cambió la ecuación a \(y=(x-3)^2+1\) y vio que la gráfica se desplazaba 3 unidades hacia la derecha y el vértice ahora estaba en \((3,1)\).

   Después, graficó la ecuación \(y= x^2 +2x +1\), observó que el vértice estaba en \((\text-1,0)\). Kiran pensó: “Si cambio el término al cuadrado \(x^2\) por \((x-5)^2\), la gráfica se desplazará 5 unidades hacia la derecha y el vértice estará en \((4,0)\)”.

   ¿Estás de acuerdo con Kiran? Explica o muestra tu razonamiento.

Mai está aprendiendo a crear animaciones computarizadas usando programas informáticos. En una parte de su animación, ella usa una función cuadrática para mostrar la trayectoria del personaje principal, un maní animado, que salta un muro.

Mai usa la ecuación \(y = \text-0.1(x-h)^2+k\) para representar la trayectoria del salto. \(y\) representa la altura del maní como función de la distancia horizontal que recorre, \(x\). En la pantalla, la base del muro está ubicada en \((22, 0)\). La parte superior del muro está en \((22,4.5)\).

1. ¿Cuáles son los valores de \(k\) y \(h\) en esta ecuación?
2. Este applet usa la ecuación de Mai. Experimenta con el applet y encuentra una ecuación que garantice que el maní sí logre saltar el muro sin salirse de la pantalla. Prepárate para explicar tu razonamiento.

¿Ves dos “ojos” y una “boca” sonriente en la gráfica? Los 3 arcos de la gráfica representan funciones cuadráticas que inicialmente estaban definidas por \(y=x^2\), pero cuyas ecuaciones se modificaron después.

 

Observa que sumarle 12 a \(x^2\) desplaza la gráfica 12 unidades hacia arriba, por eso el vértice de esa gráfica está en \((0,12)\). Al reemplazar \(x^2\) por \((x+3)^2\) se desplaza la gráfica 3 unidades hacia la izquierda, así que el vértice ahora está en \((\text-3,0)\).

También podemos desplazar una gráfica horizontal y verticalmente.