Lección 4

Comparemos funciones cuadráticas y funciones exponenciales

  • Comparemos cambios cuadráticos y cambios exponenciales, y veámos cuál aumenta más rápido.

Problema 1

La tabla muestra distintos valores de las expresiones \(10x^2\) y \(2^x\). 

  1. Describe cómo cambian los valores de cada expresión a medida que \(x\) aumenta.

  2. Predice, sin calcular, cuál expresión tendrá un valor mayor cuando:

    1. \(x\) es 8
    2. \(x\) es 10
    3. \(x\) es 12

  3. Encuentra el valor de cada expresión cuando \(x\) es 8, cuando \(x\) es 10 y cuando \(x\) es 12.

  4. Menciona algo que observes acerca de cómo cambian los valores de las dos expresiones a medida que \(x\) se vuelve más y más grande.

\(x\) \(10x^2\) \(2^x\)
1 10 2
2 40 4
3 90 8
4 160 16
8
10
12

Problema 2

La función \(f\) está definida por \(f(x)=1.5^x\). La función \(g\) está definida por \(g(x)=500x^2 + 345x\).

  1. ¿Cuál de estas funciones es cuadrática?, ¿cuál es exponencial?
  2. ¿Cuál función tiene valores mayores que la otra a medida que \(x\) toma valores más y más grandes?

Problema 3

Crea una tabla de valores para mostrar que, a partir de cierto punto, la expresión exponencial \(3(2)^x\) sobrepasará a la expresión cuadrática \(3x^2+2x\).

Problema 4

Los tabla muestra los valores de \(4^x\) y \(100x^2\) para algunos valores de \(x\).

Usa los patrones de la tabla para explicar por qué, a partir de cierto punto, los valores de la expresión exponencial \(4^x\) sobrepasarán a los valores de la expresión cuadrática \(100x^2\).

\(x\) \(4^x\) \(100x^2\)
1 4 100
2 16 400
3 64 900
4 256 1600
5 1024 2500

Problema 5

Este es un patrón de figuras. El área de cada cuadrado pequeño es 1 sq cm.

Pattern. Step 1 has 2 squares side by side. Step 2 has 7 squares, 3 by 2 and 1 on top. Step 3 has 14 squares, 4 by 3 and 2 on top.
  1. ¿Cuál es el área de la figura del paso 10?
  2. ¿Cuál es el área de la figura del paso \(n\)?
  3. ¿Cómo describirías el crecimiento en el patrón?
(de la Unidad 6, Lección 2.)

Problema 6

Una bicicleta cuesta $240 y pierde \(\frac{3}{5}\) de su valor cada año.

  1. Escribe expresiones que representen el valor de la bicicleta, en dólares, al cabo de 1, 2 y 3 años.
  2. ¿En qué momento la bicicleta valdrá menos de \$1?
  3. ¿En algún momento el valor de la bicicleta será 0? Explica tu razonamiento.
(de la Unidad 5, Lección 4.)

Problema 7

Un agricultor siembra trigo y maíz. Sembrar un acre de trigo cuesta aproximadamente \$150 y sembrar un acre de maíz cuesta aproximadamente \$350. El agricultor planea no gastar más de \$250,000 sembrando trigo y maíz. El área total en la que el agricultor planea sembrar maíz y trigo es menor que 1200 acres.

Inequality on grid.

Llamemos \(w\) al número de acres de trigo y \(c\) al número de acres de maíz. Esta gráfica representa la desigualdad, \(150w + 350c \leq 250,\!000\), que describe la restricción sobre el costo en esta situación.  

  1. La desigualdad, \(w + c < 1,\!200\) representa la restricción sobre el área total en esta situación. En el mismo plano de coordenadas, grafica la solución de la desigualdad.

  2. Usa las gráficas para encontrar por lo menos dos combinaciones posibles del número de acres de trigo y del número de acres de maíz que el agricultor podría sembrar.

  3. La combinación de 400 acres de trigo y 700 acres de maíz cumple una restricción de la situación, pero no cumple la otra restricción. ¿Cuál restricción cumple? Explica tu razonamiento.

(de la Unidad 2, Lección 25.)