Lección 3

Construyamos funciones cuadráticas a partir de patrones geométricos

  • Describamos otros patrones geométricos.

Problema 1

  1. Dibuja o describe la figura del paso 4 y la figura del paso 15.
    Pattern of small squares. Step 1 has 1 square. Step 2 has 4 squares, 2 by 2 with bottom left square moved to top right corner. Step 3 has 9 squares, 3 by 3 with bottom left moved to top right corner.
  2. ¿Cuántos cuadrados pequeños habrá en cada uno de estos pasos?
  3. Escribe una ecuación que represente la relación entre el paso, \(n\), y el número de cuadrados pequeños, \(y\), en cada paso.
  4. Explica cómo se relaciona tu ecuación con el patrón.

Problema 2

¿Cuál expresión representa la relación entre el paso \(n\) y el número total de cuadrados pequeños en ese paso?

A pattern of small squares. Step 1 has 0 squares. Step 3 has 3 squares: 2 by 2 but missing the lower right square. Step 3 has 8 squares: 3 by 3 but missing the lower right square.
A:

\(n^2+1\)

B:

\(n^2-1\)

C:

\(n^2-n\)

D:

\(n^2+n\)

Problema 3

Cada figura está compuesta por cuadrados grandes y cuadrados pequeños. La longitud de lado del cuadrado grande es \(x\). Escribe una expresión que represente el área de la parte sombreada de cada figura.

Figura A

Large square with 1 by 1 small squares removed from each corner.

Figura B

2 large squares side by side. On the side of the right square, there are 2 small squares stacked vertically, each with dimensions 2 by 2.

Problema 4

Estas son algunas parejas de números positivos cuya diferencia es 5.

  1. Encuentra el producto de los números de cada pareja. Después, ubica algunos puntos en el plano de coordenadas para mostrar la relación entre el primer número y el producto.

    primer
    número    		 segundo
    número    		 producto
    1 6
    2 7
    3 8
    5 10
    7 12
    Blank coordinate plane. Horizontal axis, first number, 0 to 10. Vertical axis, product, 0 to 100 by 10s.
  2. ¿La relación entre el primer número y el producto es una relación exponencial? Explica cómo lo sabes.
(de la Unidad 6, Lección 1.)

Problema 5

Estos son algunos largos y anchos posibles de un rectángulo cuyo perímetro es 20 metros.
  1. Completa la tabla. ¿Qué observas acerca de estas áreas?
    largo
    (metros)    		 ancho
    (metros)    		 área
    (metros cuadrados)
    1 9
    3 7
    5
    7
    9
  2. Sin hacer cálculos, predice si el área del rectángulo será mayor o menor que 25 metros cuadrados cuando el largo mide 5.25 metros.
  3. En el plano de coordenadas, ubica los puntos del largo y el área que hay en tu tabla.

    ¿Los valores cambian de forma lineal? ¿Cambian de forma exponencial?

    A blank graph, origin O, with a grid.

Problema 6

Este es un patrón de puntos.

Four figures, labeled step 0 through 3. Step 0, row with 1 dot. Step 1, row with 2 dots. Step 2, row with 2 dots above row with 3 dots. Step 3, 2 rows of 3 dots above row with 4 dots.
  1. Completa la tabla.
  2. ¿Cuántos puntos habrá en el paso 10?
  3. ¿Cuántos puntos habrá en el paso \(n\)?
paso número total
de puntos
0
1
2
3
(de la Unidad 6, Lección 2.)

Problema 7

Mai tiene un tarro con monedas de veinticinco centavos y de diez centavos. Ella saca por lo menos 10 monedas del tarro, con las que obtiene menos de \$2.00.

  1. Escribe un sistema de desigualdades que represente el número de monedas de 25 centavos, \(q\), y el número de monedas de 10 centavos, \(d\), que Mai podría haber sacado.

  2. ¿Cuáles de las siguientes combinaciones de monedas pudo haber sacado Mai? Si encuentras una que funcione, explica o muestra cómo lo sabes. Si encuentras una que no funcione, menciona cuál restricción —la cantidad de dinero o el número de monedas— no se cumple.

    1. 3 monedas de veinticinco centavos y 12 monedas de diez centavos
    2. 4 monedas de veinticinco centavos y 10 monedas de diez centavos
    3. 2 monedas de veinticinco centavos y 5 monedas de diez centavos
(de la Unidad 2, Lección 25.)

Problema 8

Un estadio tiene capacidad para 63,026 personas. En cada juego, la cantidad de dinero que los administradores del estadio obtienen mediante la venta de boletos es una función del número de espectadores, \(n\).

Si cada boleto cuesta \$30.00, encuentra el dominio y el rango de esta función.

(de la Unidad 4, Lección 10.)