Lección 15

Resolvamos ecuaciones con números racionales

Resolvamos ecuaciones que incluyen valores negativos.

15.1: Conversación numérica: opuestos y recíprocos

Todas las variables de \(a\) hasta \(h\) representan números diferentes. Mentalmente, encuentra números que hagan verdadera cada ecuación.

\(\frac35 \boldcdot \frac53 = a\)

\(7 \boldcdot b = 1\)

\(c \boldcdot d = 1\)

\(\text-6 + 6 = e\)

\(11 + f = 0\)

\(g + h = 0\)

15.2: Emparejemos soluciones

  1. Empareja cada ecuación con su solución.

    1. \(\frac12 x=\text-5\)

    2. \(\text-2x=\text-9\)

    3. \(\text-\frac12 x=\frac14\)

    4. \(\text-2x=7\)

    5. \(x+\text-2 = \text-6.5\)

    6. \(\text-2+x=\frac12\)

  1. \(x = \text-4.5\)

  2. \(x = \text-\frac12\)

  3. \(x = \text-10\)

  4. \(x = 4.5\)

  5. \(x = 2 \frac12\)

  6. \(x=\text-3.5\)

Prepárate para explicar tu razonamiento.

15.3: Un paseo a las montañas

El club de senderismo está en un paseo para subir una montaña.

  1. Los miembros aumentaron su elevación 290 pies durante su caminata esta mañana. Ahora están a una elevación de 450 pies.

    1. Explica cómo encontrar su elevación antes de la caminata.
    2. Han dice que la ecuación \(e + 290 = 450\) describe la situación. ¿Qué representa la variable \(e\)?
    3. Han dice que puede plantear su ecuación como \(e=450 + \text-290\) para hallar el valor de \(e\). Compara la estrategia de Han con tu estrategia para hallar la elevación inicial.

  2. La temperatura disminuyó 4 grados en la última hora. Ahora es 21 grados. Escribe y resuelve una ecuación para hallar la temperatura de hace 1 hora.

  3. Hay 3 veces tantos estudiantes participando en el paseo de senderismo este año como los que hubo el año pasado. Hay 42 estudiantes en el paseo este año.

    1. Explica cómo hallar el número de estudiantes que vino al paseo de senderismo el año pasado.
    2. Mai dice que la ecuación \(3s=42\) describe la situación. ¿Qué representa la variable \(s\)?
    3. Mai dice que puede plantear su ecuación como \(s=\frac13 \boldcdot 42\) para hallar el valor de \(s\). Compara la estrategia de Mai con tu estrategia para hallar el número de estudiantes en el paseo del año pasado.

  4. El costo del paseo de senderismo este año es \(\frac23\) del costo del paseo del año pasado. El costo del paseo de este año es \$32. Escribe y resuelve una ecuación para hallar el costo del paseo del año pasado.



A continuación se muestra una recta numérica. Los números 0 y 1 están marcados en la recta, al igual que otros números racionales \(a\) y \(b\).

A number line. 

Determina cuáles de los siguientes números son positivos y cuáles son negativos.

\(a-1\)

\(a-2\)

\(\text-b\)

\(a+b\)

\(a-b\)

\(ab+1\)

 

15.4: Clasificación de tarjetas: emparejar inversos

Su profesor les dará una colección de cartas que tienen ciertos números.

  1. Emparejen los números con sus inversos aditivos.
  2. Después, emparejen los números con sus inversos multiplicativos.
  3. ¿Qué observan acerca de los números y sus inversos?

Resumen

Para resolver la ecuación \(x + 8 = \text-5\), podemos sumar a cada lado el opuesto de 8 (es decir, -8):

Como sumar el opuesto de un número es igual que restar ese número, también podemos pensar en este proceso como restar 8 en cada lado.

\(\begin{align} x + 8 &= \text-5\\ (x+ 8) + \text-8&=(\text-5)+ \text-8\\ x&=\text-13 \end{align}\)

Podemos usar el mismo método para esta ecuación:

\(\begin{align} \text-12 & = t +\text- \frac29\\ (\text-12)+ \frac29&=\left( t+\text-\frac29\right) + \frac29\\\text-11\frac79& = t\end{align}\)

Para resolver la ecuación \(8x = \text-5\), podemos multiplicar cada lado por el recíproco de 8, (es decir, \(\frac18\)):

Como multiplicar por el recíproco de un número es igual que dividir por ese número, también podemos pensar en este proceso como dividir cada lado por 8.

\(\begin{align} 8x & = \text-5\\ \frac18 ( 8x )&= \frac18 (\text-5)\\ x&=\text-\frac58 \end{align}\)

Podemos usar el mismo método para esta ecuación:

\(\begin{align} \text-12& =\text-\frac29 t\\ \text-\frac92\left( \text-12\right)&= \text-\frac92 \left(\text-\frac29t\right) \\ 54& = t\end{align}\)

Entradas del glosario

  • variable

    Una variable es una letra que representa un número. Puedes elegir distintos números como valores de la variable.

    Por ejemplo, en la expresión \(10-x\), la variable es \(x\). Si el valor de \(x\) es 3, entonces \(10-x=7\), porque \(10-3=7\). Si el valor de \(x\) es 6, entonces \(10-x=4\), porque \(10-6=4\).