Lección 17

Dos cantidades relacionadas (Parte 2)

Usemos ecuaciones y gráficas para describir historias que involucran rapidez constante.

17.1: De camino a la biblioteca

Lin y Jada caminan cada una a una tasa constante desde la escuela hasta la biblioteca. Lin puede caminar 13 millas en 5 horas y Jada puede caminar 25 millas en 10 horas. Ambas salen de la escuela a las 3:00 y caminan \(3\frac14\) millas hasta la biblioteca. ¿A qué hora llega cada una?

17.2: La caminata

Diego, Elena y Andre participaron en una caminata para recoger fondos para la investigación sobre el cáncer. Cada uno caminó a una tasa constante, pero sus tasas fueron diferentes.

  1. Completa la tabla para mostrar cuánto recorrió cada participante durante la caminata. 
    tiempo en horas millas que caminó
    Diego    		 millas que caminó
    Elena    		 millas que caminó
    Andre
    1      
    2 6    
      12 11  
    5     17.5
  2. ¿Qué tan rápido caminaba cada participante en millas por hora?
  3. ¿Cuánto se demoró cada participante en caminar una milla?
  4. Grafica el progreso de cada persona en el plano de coordenadas. Utiliza un color diferente para cada participante. 

  5. Diego dice que \(d=3t\) representa su caminata, donde \(d\) es la distancia caminada en millas y \(t\) es el tiempo en horas.

    1. Explica por qué \(d=3t\) relaciona la distancia que Diego caminó con el tiempo que se demoró.
    2. Escribe dos ecuaciones que relacionen la distancia y el tiempo: una para Elena y otra para Andre.
  6. Usa las ecuaciones que escribiste para predecir la distancia que recorrerá cada participante, a su misma tasa, en 8 horas.
  7. Para la ecuación de Diego y las ecuaciones que escribiste, ¿cuál es la variable dependiente y cuál es la variable independiente?


  1. Dos trenes viajan el uno hacia el otro, en vías paralelas. El tren A se está moviendo a una rapidez constante de 70 millas por hora. El tren B se está moviendo a una rapidez constante de 50 millas por hora. Los trenes están inicialmente a 320 millas el uno del otro. ¿Cuánto tardarán en encontrarse Una forma de empezar a pensar sobre este problema es hacer una tabla. Agrega todas las filas que quieras.

  2. ¿Cuánto tardará un tren que viaja a 120 millas por hora en recorrer 320 millas?

  3. Explica la conexión que hay entre estos dos problemas.
  Tren A Tren B
Posición de salida 0 millas 320 millas
Después de 1 hora 70 millas 270 millas
Después de 2 horas    
     
     

Resumen

Las ecuaciones son muy útiles para resolver problemas que tienen rapideces constantes. Este es un ejemplo.

Un barco viaja con una rapidez constante de 25 millas por hora.

  1. ¿Cuánto recorre el barco en 3.25 horas?
  2. ¿Cuánto tarda el barco en recorrer 60 millas?

Podemos escribir ecuaciones que nos ayuden a responder preguntas como estas. Utilicemos \(t\) para representar el tiempo en horas y \(d\) para representar la distancia que recorre el barco en millas.

Cuando conocemos el tiempo y queremos hallar la distancia, podemos escribir: \(\displaystyle d = 25t\) En esta ecuación, si \(t\) cambia, \(d\) se ve afectada por el cambio, por eso \(t\) es la variable independiente y \(d\) es la variable dependiente.

Esta ecuación nos puede ayudar a hallar \(d\) cuando tenemos cualquier valor de \(t\). En 3.25 horas, el barco puede recorrer \(25(3.25)\) u \(81.25\) millas.

Cuando conocemos la distancia y queremos hallar el tiempo, podemos escribir: \(\displaystyle t = \frac{d}{25}\) En esta ecuación, si \(d\) cambia, \(t\) se ve afectada por el cambio, por eso \(d\) es la variable independiente y \(t\) es la variable dependiente.

Esta ecuación nos puede ayudar a hallar \(t\) para cualquier valor de \(d\). Para recorrer 60 millas, se necesitan \(\frac{60}{25}\) o \(2 \frac{2}{5}\) horas.

Estos problemas también se pueden resolver utilizando técnicas importantes que involucran razones como una tabla de razones equivalentes. Las ecuaciones son particularmente valiosas en este caso porque las respuestas no son números redondeados ni son fáciles de evaluar rápidamente.

También podemos graficar las dos ecuaciones que escribimos para obtener una representación visual de la relación entre las dos cantidades:

Entradas del glosario

  • plano de coordenadas

    El plano de coordenadas es un sistema para especificar la ubicación de puntos. Por ejemplo, el punto \(R\) está ubicado en \((3, 2)\) en el plano de coordenadas, porque está tres unidades a la derecha y dos unidades arriba del origen.

    Point \(R\) on a coordinate plane, origin \(O\). Horizontal and vertical axis scale negative 4 to 4 by 1’s. The point has coordinates \(R\)(3 comma 2).
  • variable dependiente

    La variable dependiente es el resultado de un cálculo. Por ejemplo, un barco viaja a una rapidez constante de 25 millas por hora. La ecuación \(d=25t\) describe la relación entre la distancia recorrida por el bote y el tiempo transcurrido. La variable dependiente es la distancia recorrida porque \(d\) es el resultado de multiplicar 25 por \(t\).

  • variable independiente

    La variable independiente se usa para calcular el valor de otra variable. Por ejemplo, un barco viaja a una rapidez constante de 25 millas por hora. La ecuación \(d=25t\) describe la relación entre la distancia recorrida por el bote y el tiempo transcurrido. La variable independiente es el tiempo transcurrido porque \(t\) es multiplicado por 25 para obtener \(d\).