Lección 14
Evaluar expresiones que tienen exponentes
Hallemos los valores de expresiones que tienen exponentes.
14.1: Repasemos el cubo
Basados en la información dada, ¿qué otras medidas del cuadrado y del cubo podemos hallar?
14.2: Calcular área de superficie
La longitud de los lados de un cubo es 10 pulgadas. Jada dice que el área de superficie del cubo es 600 in2 y Noah dice que el área de superficie del cubo es 3,600 in2. Así fue como razonó cada uno:
Método de Jada:
\(6 \boldcdot 10^2\)
\(6 \boldcdot 100\)
\(600\)
Método de Noah:
\(6 \boldcdot 10^2\)
\(60^2\)
\(3,\!600\)
¿Estás de acuerdo con alguno de los dos? Explica tu razonamiento.
14.3: Juego de filas: explosión de expresiones
Evalúa las expresiones de una de las columnas. Tu pareja va a trabajar en la otra columna. Después de terminar cada fila verifica con tu pareja. Las respuestas de ambos en cada fila deben ser iguales. Si sus respuestas no son las mismas, trabajen juntos para encontrar el error.
| columna A | columna B |
|---|---|
| \(5^2+4\) | \(2^2+25\) |
| \(2^4 \boldcdot 5\) | \(2^3 \boldcdot 10\) |
| \(3 \boldcdot 4^2\) | \(12 \boldcdot 2^2\) |
| \(20+2^3\) | \(1+3^3\) |
| \(9 \boldcdot 2^1\) | \(3 \boldcdot 6^1\) |
| \(\frac19 \boldcdot \left( \frac12 \right)^3\) | \(\frac18 \boldcdot \left( \frac13 \right)^2\) |
-
Considera esta ecuación: \(\boxed{\phantom{3}}^2+\boxed{\phantom{3}}^2=\boxed{\phantom{3}}^2\). Un ejemplo de 3 números enteros diferentes que podrían ir en los recuadros son 3, 4 y 5, ya que \( 3^2+4^2=5^2\) (Esto es, \(9+16=25\)).
¿Puedes hallar un conjunto diferente de 3 números enteros que hagan la ecuación verdadera?
- ¿Cuántos conjuntos de 3 números enteros diferentes puedes hallar?
- ¿Puedes hallar un conjunto de 3 números enteros diferentes que hagan esta ecuación verdadera? \(\boxed{\phantom{3}}^3+\boxed{\phantom{3}}^3=\boxed{\phantom{3}}^3\)
- ¿Qué tal esta? \(\boxed{\phantom{3}}^4+\boxed{\phantom{3}}^4=\boxed{\phantom{3}}^4\)
Una vez que hayas trabajado en esto durante un rato, podrás entender un problema famoso de la historia de las matemáticas. (Desafortunadamente, este espacio es muy pequeño para incluirlo). Si estás interesado, considera investigar más acerca del Último teorema de Fermat.
Resumen
Los exponentes nos presentan una nueva forma de describir las operaciones numéricas, así que debemos entender cómo se comportan los exponentes con las otras operaciones que conocemos.
Cuando escribimos \(6 \boldcdot 4^2\), queremos asegurarnos de que todos estamos de acuerdo en cómo evaluar esto. De lo contrario, algunas personas podrían multiplicar primero y otras evaluar primero el exponente, ¡de modo que diferentes personas obtendrían valores diferentes para la misma expresión!
Anteriormente vimos situaciones en las que \(6 \boldcdot 4^2\) representaba el área de superficie de un cubo que tenía lados de 4 unidades de longitud. Cuando calculamos el área de superficie, primero evaluamos \(4^2\) (es decir, primero hallamos el área de una de las caras del cubo) y luego multiplicamos el resultado por 6. En muchas otras expresiones que utilizan exponentes, se tiene la intención de que la parte que tiene el exponente sea la primera en evaluarse.
Para que todos estemos de acuerdo sobre el valor de expresiones como \(6 \boldcdot 4^2\), la convención es evaluar primero la parte de la expresión que tiene el exponente. Por ejemplo:
\( \begin {align} 6 &\boldcdot 4^2 \\ 6 &\boldcdot 16 \\ &96 \end {align}\)
\( \begin {align} 45 &+ 5^2 \\ 45 &+ 25 \\ &70 \end {align}\)
Si queremos comunicar que 6 y 4 se deben multiplicar primero y luego elevar al cuadrado, entonces podemos usar un paréntesis para agrupar las partes:
\( \begin {align} (6 &\boldcdot 4)^2 \\ &24^2 \\ &576 \end {align}\)
\( \begin {align} (45 &+ 5)^2 \\ &50^2 \\ 2,&500 \end {align}\)