Lección 15

Expresiones exponenciales equivalentes

Investiguemos expresiones que tienen variables y exponentes.

15.1: ¿Arriba o abajo?

Halla los valores de \(3^x\) y \(\left(\frac13\right)^x\) para diferentes valores de \(x\). ¿Qué patrones observas?

 \(x\)   \(3^x\) \(\left(\frac13\right)^x\)
1    
2    
3    
4    

15.2: ¿Cuál es el valor?

Evalúa cada expresión para el valor dado de \(x\).

  1. \(3x^2\) cuando \(x\) es 10

  2. \(3x^2\) cuando \(x\) es \(\frac19\)

  3. \(\frac{x^3}{4}\) cuando \(x\) es 4

  4. \(\frac{x^3}{4}\) cuando \(x\) es \(\frac12\)

  5. \(9+x^7\) cuando \(x\) es 1

  6. \(9+x^7\) cuando \(x\) es \(\frac12\)

15.3: Experimentación con exponentes

Encuentra una solución para cada ecuación, en la lista a continuación. (Es posible que los números de la lista sean la solución de más de una ecuación, no se van a utilizar todos los números).

  1. \(64=x^2\)
  2. \(64=x^3\)
  3. \(2^x=32\)
  4. \(x=\left( \frac25 \right)^3\)
  5. \(\frac{16}{9}=x^2\)
  6. \(2\boldcdot 2^5=2^x\)
  7. \(2x=2^4\)
  8. \(4^3=8^x\)

Lista:

\(\frac{8}{125}\)

\(\frac{6}{15}\)

\(\frac{5}{8}\)

\(\frac89\)

1

\(\frac43\)

2

3

4

5

6

8



Este fractal se llama un tetraedro de Sierpinski. Un tetraedro es un poliedro que tiene cuatro caras.

Los tetraedros pequeños forman cuatro tetraedros medianos: azul, rojo, amarillo y verde. Los tetraedros medianos forman un tetraedro grande.

A large tetrahedron composed of various colors of smaller tetrahedra.
  1. ¿Cuántas caras pequeñas tiene este fractal? Asegúrate de incluir las caras que no puedes ver. Trata de encontrar una manera de descifrar esto de tal forma que no tengas que contar todas las caras.
  2. ¿Cuántos tetraedros pequeños hay en la capa inferior, tocando la mesa?
  3. Para formar una versión aún más grande de este fractal, podrías tomar cuatro fractales como el de la foto y juntarlos. Explica dónde unirías los fractales para formar un tetraedro más grande.
  4. ¿Cuántas caras pequeñas tendría este fractal más grande? ¿Cuántos tetraedros pequeños habría en la capa inferior?
  5. ¿Qué otros patrones puedes encontrar?

Resumen

En esta lección vimos expresiones que utilizaban la letra \(x\) como una variable. Evaluamos estas expresiones para distintos valores de \(x\).

  • Para evaluar la expresión \(2x^3\) cuando \(x\) es 5, reemplazamos la letra \(x\) por 5 para obtener \(2 \boldcdot 5^3\). Esto es igual a \(2 \boldcdot 125\) o simplemente 250. Así que el valor de \(2x^3\) es 250 cuando \(x\) es 5.
  • Para evaluar \(\frac{x^2}{8}\) cuando \(x\) es 4, reemplazamos la letra \(x\) por 4 para obtener \(\frac{4^2}{8} = \frac{16}{8}\), que es igual a 2. Entonces \(\frac{x^2}{8}\) tiene un valor de 2 cuando \(x\) es 4.

También vimos ecuaciones con la variable \(x\) y tuvimos que decidir qué valor de \(x\) haría verdadera a la ecuación.

  • Supongamos que tenemos una ecuación \(10 \boldcdot 3^x = 90\) y una lista de posibles soluciones: \({1, 2, 3, 9, 11}\). El único valor de \(x\) que hace verdadera a la ecuación es 2, porque \( 10 \boldcdot 3^2 = 10 \boldcdot 3 \boldcdot 3\), que es igual a 90. Así que 2 es la solución de la ecuación.