Lección 9

Lin y Diego hablan acerca de las dos expresiones \(x^2\) y \(2^x\).

• Lin dice: “Creo que las dos expresiones son equivalentes”.
• Diego dice: “Creo que las dos expresiones solo son iguales para algunos valores de \(x\)”.

¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica o muestra tu razonamiento.

1. ¿Qué dice la afirmación \(f(9) \approx 6\) sobre esta situación?
2. ¿Cuál es el valor de \(f(4)\)?, ¿y de \(f(3.5)\)? ¿Qué representan estos valores en este contexto?
3. Si \(f(t)=45\), ¿cuál es el valor de \(t\)? ¿Qué representa el valor de \(t\) en este contexto?
4. ¿Por qué factor cambia el costo de los paneles solares de un año al siguiente? (Si tienes dificultades, puedes hacer una tabla).

1. La ecuación \(t = (0.05) \boldcdot 2^n\) da el grosor \(t\) en milímetros de una hoja de papel después de doblarla \(n\) veces.
   1. ¿Qué representa el número \(0.05\) en la ecuación?
   2. Usa tecnología para graficar la ecuación \(t = (0.05) \boldcdot 2^n\).
   3. ¿Cuántos dobleces se necesitan para que el grosor del papel doblado sea mayor que 1 mm? ¿Cuántos dobleces se necesitan para que el grosor sea mayor que 1 cm? Explica cómo lo sabes.
2. El área de una hoja de papel es 93.5 pulgadas cuadradas.
   1. Encuentra el área que queda visible después de doblar la hoja por la mitad una vez, dos veces y tres veces.
   2. Escribe una ecuación que exprese el área visible \(a\) de la hoja en términos del número de veces, \(n\), que se ha doblado.
   3. Usa tecnología para graficar la ecuación correspondiente.
   4. En este contexto, ¿puede \(n\) tomar valores negativos? Explica tu razonamiento.
   5. ¿Puede \(a\) tomar valores negativos? Explica tu razonamiento.

Tu profesor te dará una tarjeta de problema o una tarjeta de datos. No se la muestres ni se la leas a tu compañero.

Haz una pausa aquí para que el profesor pueda revisar tu trabajo. Pídele al profesor un nuevo grupo de tarjetas. Intercambia roles con tu compañero y repite la actividad.

Hemos usado ecuaciones para representar situaciones que se caracterizan por involucrar cambio exponencial. Por ejemplo, para describir la cantidad de cafeína \(c\) que hay en el cuerpo de una persona \(t\) horas después de una medición inicial de 100 mg, usamos la ecuación \(c = 100\boldcdot \left(\frac{9}{10}\right)^t\).

Observa que la cantidad de cafeína es una función del tiempo, así que otra manera de expresar esta relación es \(c = f(t)\), donde \(f\) es la función dada por \(f(t)=100 \boldcdot \left( \frac{9}{10} \right)^t\).

Podemos usar esta función para analizar la cantidad de cafeína que hay en el cuerpo. Por ejemplo, cuando \(t\) es 3, la cantidad de cafeína es \(100 \boldcdot\left(\frac{9}{10}\right)^3\)o \(100 \boldcdot \frac{729}{1,000}\), que es igual a 72.9. La afirmación \(f(3) = 72.9\) significa que hay 72.9 mg de cafeína 3 horas después de la medición inicial.

También podemos graficar la función \(f\) para comprender mejor lo que ocurre. Por ejemplo, el punto marcado con la letra \(P\) tiene coordenadas aproximadas de \((10,35)\), lo cual nos dice que deben pasar aproximadamente 10 horas después de la medición inicial para que el nivel de cafeína disminuya a 35 mg.

Una gráfica también nos puede ayudar a pensar en los valores del dominio y del rango de una función. Como el cuerpo descompone la cafeína continuamente a lo largo del tiempo, el dominio de la función (el tiempo en horas) puede incluir números no enteros. Por ejemplo, podemos encontrar el nivel de cafeína cuando \(t\) es 3.5. En esta situación, los valores negativos del domino representan el tiempo antes de la medición inicial. Por ejemplo, \(f(\text-1)\) representa la cantidad de cafeína en el cuerpo de la persona 1 hora antes de la medición inicial. El rango de esta función no incluye valores negativos debido a que una cantidad negativa de cafeína no tiene sentido en esta situación.