Lección 5

Representemos el decaimiento exponencial

  • Pensemos en cómo mostrar y hablar del decaimiento exponencial.

5.1: Otras dos tablas

Usa los patrones que observes para completar las tablas. Muestra tu razonamiento.

Tabla A

\(x\) 0 1 2 3    4      25  
\(y\) 2.5 10 17.5 25

 

Tabla B

\(x\) 0 1 2 3    4      25  
\(y\) 2.5 10 40 160

 

5.2: La proliferación de algas

Unos científicos usan algunos productos de tratamiento para controlar la proliferación de algas en un lago.

Una vez inicia el tratamiento, el área \(A\), en yardas cuadradas, que está cubierta de algas, está dada por la ecuación \(A = 240 \boldcdot \left(\frac{1}{3}\right)^t\). El tiempo, \(t\), se mide en semanas.

Lake with algae growth.
  1. En la ecuación, ¿qué nos dice el 240 acerca de las algas? ¿Qué nos dice el \(\frac13\)?

  2. Crea una gráfica que represente \(A = 240 \boldcdot \left(\frac{1}{3}\right)^t\) cuando \(t\) es 0, 1, 2, 3 y 4. Piensa detenidamente cómo elegir la escala para los ejes. Si tienes dificultades, puedes crear una tabla de valores.

    Blank coordinate plane, origin O, with 16 unit by 16 unit grid.
  3. ¿Aproximadamente cuántas yardas cuadradas estarán cubiertas de algas al cabo de 2.5 semanas? Explica tu razonamiento.


Los científicos estiman que para evitar una futura proliferación de algas después de terminar con el tratamiento, se debe lograr que el área cubierta de algas sea menor que un pie cuadrado. ¿Cuántas semanas debe durar el tratamiento para conseguir esto?

5.3: Insulina en el cuerpo

Un paciente con diabetes recibe 100 microgramos de insulina. La gráfica muestra la cantidad de insulina, en microgramos, que permanece en la sangre a lo largo del tiempo, en minutos.

Graph of an exponential function, origin O. time (minutes) insulin (mg).
  1. Los científicos han descubierto que la cantidad de insulina en el cuerpo de un paciente cambia exponencialmente. ¿Cómo puedes comprobar si la gráfica respalda la afirmación de los científicos?
  2. ¿Cuánta insulina se degradó en el primer minuto? ¿Esta cantidad es qué fracción de la cantidad original de insulina?
  3. ¿Cuánta insulina se degradó en el segundo minuto? ¿Esta cantidad es qué fracción de la cantidad de insulina que había un minuto antes?
  4. ¿Qué fracción de la insulina queda en la sangre al final de cada minuto que pasa? Explica tu razonamiento.
  5. Completa la tabla para mostrar la cantidad prevista de insulina 4 y 5 minutos después de la inyección.
    tiempo después de la inyección (minutos) 0 1 2 3  4   5 
    insulina en la sangre (microgramos) 100 90 81 72.9
  6. Describe qué harías para encontrar cuántos microgramos de insulina quedan en la sangre del paciente al cabo de 10 minutos y, en general, al cabo de \(m\) minutos.

 

Resumen

Esta gráfica muestra la cantidad de cafeína, medida en miligramos, que hay en el cuerpo de una persona a lo largo de un periodo de tiempo, medido en horas. Sabemos que la cantidad de cafeína en el cuerpo de una persona cambia exponencialmente.

Graph of an exponential function, origin O. time (hours) and caffeine (mg).

La gráfica incluye el punto \((0, 200)\). Esto significa que había 200 miligramos de cafeína en el cuerpo de la persona cuando se midió por primera vez. El punto \((1, 180)\) nos dice que había 180 miligramos de cafeína 1 hora después. La cantidad de cafeína pasa a ser menor que 100 miligramos entre 6 y 7 horas después de la primera medición.

Podemos usar la gráfica para encontrar la fracción de cafeína que queda en el cuerpo al cabo de cada hora. Observa que \(\frac {180}{200} = \frac{9}{10}\) y que \(\frac {162}{180} = \frac{9}{10}\). Cada hora que pasa, la cantidad de cafeína que queda en el cuerpo se multiplica por un factor de \(\frac{9}{10}\).

Si \(y\) es la cantidad de cafeína en miligramos y \(t\) es el tiempo en horas, entonces esta situación se modela con esta ecuación:

\(\displaystyle y = 200 \boldcdot \left(\frac{9}{10}\right)^t\)

Entradas del glosario

  • factor de crecimiento

    En una función exponencial, la salida se multiplica por el mismo factor cada vez que la entrada aumenta en uno. Este multiplicador se llama el factor de crecimiento.