Lección 8

Esta es una gráfica de la lluvia acumulada en Las Vegas, Nevada, durante los primeros 60 días de 2017.

Usa la gráfica para responder a las siguientes preguntas.

1. ¿Es la cantidad de lluvia acumulada una función del tiempo?
2. ¿Es el tiempo una función de la lluvia acumulada?

Clare notó un poco de moho en la última rebanada de pan que había en una bolsa de pan. El área cubierta de moho era de aproximadamente 1 milímetro cuadrado. Ella separó la rebanada, sin tocarla, para observar cómo crecía el moho. El día siguiente, el área cubierta de moho se había duplicado y al día siguiente se había duplicado de nuevo.

1. Si el patrón de duplicación continúa, ¿cuántos milímetros cuadrados estarán cubiertos de moho 4 días después de que Clare lo viera por primera vez? Muestra tu razonamiento.
2. Representa la relación entre el área cubierta de moho, \(A\), en milímetros cuadrados, y el número de días \(d\) después de que se descubrió el moho. Usa:
   1. una tabla de valores que muestre los valores durante los primeros 5 días desde el día en el que se descubrió el moho
   2. una ecuación
   3. una gráfica
3. Discute con tu compañero: ¿La relación entre el área cubierta de moho y el número de días es una función? Si es así, escribe: “____ es una función de ____”. Si no, explica por qué no.

Estas son algunas situaciones que ya hemos visto. Para cada situación:

• Escribe una afirmación de la forma “\(\underline{\hspace{0.5in}}\) es una función de \(\underline{\hspace{0.5in}}\)”.
• Indica cuál es la variable independiente y cuál es la variable dependiente.
• Usando notación de funciones, escribe una ecuación que represente la situación.

1. 500 bacterias se reproducen por división en un laboratorio de biología. Al cabo de cada hora, a la hora en punto, cada bacteria se divide en dos bacterias.
2. Un automóvil pierde \(\frac13\) de su valor cada año que pasa. Supongamos que el automóvil nuevo costó \$18,000.
3. Unos científicos usan algunos productos de tratamiento para controlar la proliferación de algas en un lago. El día que comienzan el tratamiento, el área cubierta por algas es de 240 yardas cuadradas. Cada día que pasa después de que se inició el tratamiento, una tercera parte del área (en yardas cuadradas) que estaba cubierta de algas el día anterior sigue cubierta de algas. El tiempo \(t\) se mide en días.

La ecuación \(m = 20\boldcdot (0.8)^h\) modela la cantidad de medicamento \(m\) (en miligramos) en el cuerpo de un paciente como función del número de horas, \(h\), después de una inyección.

1. Sin usar una herramienta para graficar, decide si el rectángulo de vista determinado por las siguientes desigualdades es adecuado para graficar esta función. Explica tu razonamiento.
   \(\displaystyle \text-10< h<100\)
   \(\displaystyle \text-100< m<1,\!000\)
2. Comprueba tu respuesta. Grafica la ecuación con tecnología y usa ese rectángulo de vista. ¿Qué observas? Dibuja o describe la gráfica.
3. Si la gráfica que obtuviste en la pregunta anterior no te parece adecuada, modifica el rectángulo de vista para que la gráfica sea más útil. Anota las dimensiones de tu rectángulo de vista. Convence a un compañero de que tu nuevo rectángulo de vista es mejor.

Las situaciones que hemos visto que se caracterizan por un cambio exponencial se pueden ver como funciones. En cada situación, hay una cantidad —una variable independiente— que determina otra cantidad —una variable dependiente—. Son funciones porque a cada valor de la variable independiente le corresponde uno y solo un valor de la variable dependiente. Las funciones que describen un cambio exponencial se llaman funciones exponenciales.

Por ejemplo, supongamos que \(p\) es la población de cierto grupo de bacterias \(t\) horas después de medir esta población. Para cada tiempo \(t\), hay un único valor para el número de bacterias, así que podemos decir que \(p\) es una función de \(t\) y lo podemos escribir así: \(p = f(t)\).

Si la primera vez que se midió la población había 100,000 bacterias y la población disminuye de manera que al cabo de cada hora queda \(\frac{1}{5}\) de la población, podemos usar notación de funciones para modelar la población de bacterias:

\(\displaystyle f(t) = 100,\!000 \boldcdot \left(\frac{1}{5}\right)^t\)

Observa que la expresión \(a \boldcdot b^t\) (al lado derecho de la ecuación) tiene la misma forma que las expresiones que ya hemos usado en ecuaciones para representar situaciones que involucran cambio exponencial.