Lección 7

Usemos exponentes negativos

  • Exploremos más de cerca las gráficas exponenciales y las ecuaciones exponenciales.

7.1: Propiedades de los exponentes

Reescribe cada expresión como una expresión equivalente que solo tenga un exponente.

  • \(2^4 \boldcdot 2^0\)
  • \(2^4 \boldcdot 2^{\text-1}\)
  • \(2^4 \boldcdot 2^{\text-3}\)
  • \(2^4 \boldcdot 2^{\text-4}\)

7.2: Coral marino

Un biólogo marino estima que una estructura de coral tiene un volumen de 1,200 centímetros cúbicos y que su volumen se duplica cada año.

Coral underwater with fish.
  1. Escribe una ecuación de la forma \(y=a \boldcdot b^t\) que represente esta relación, donde \(t\) sea el tiempo en años después de que se estimó el volumen del coral y \(y\) sea el volumen del coral en centímetros cúbicos. (Debes descubrir cuáles son los números \(a\) y \(b\) en esta situación).
  2. Encuentra el volumen del coral cuando \(t\) es 5, 1, 0, -1 y -2.
  3. En esta situación, ¿qué significa decir que \(t\) es -2?
  4. En cierto año, se estima que el volumen del coral es 37.5 centímetros cúbicos. ¿Qué año es? Explica tu razonamiento.

7.3: Rectángulos de vista de unas gráficas

El volumen, \(y\), de una estructura de coral en centímetros cúbicos se modela con la ecuación \(y = 1,\!200 \boldcdot 2^x\), donde \(x\) es el número de años después de que se midió el coral. Tres estudiantes usaron tecnología para graficar la ecuación que representa el volumen del coral como función del tiempo.

A

Two points on coordinate plane, origin O.

B

Graph of function on a grid.

C

graph of function on grid.

Para cada gráfica:

  1. Describe qué tan bien o qué tan mal se ve el comportamiento de la función en el rectángulo de vista.
  2. Para cada rectángulo de vista que creas que no muestra bien el comportamiento de la función, describe cómo ajustarías el rectángulo de vista.
  3. Con tecnología, vuelve a hacer las gráficas con los ajustes que sugeriste.

7.4: Mediciones de medicamento

Una persona tomó un medicamento y está preocupada pues no recuerda cuánto tomó. Por ello, se hace una prueba de sangre cada hora durante varias horas.

    1. El tiempo \(t\) se mide en horas después de la primera prueba de sangre y la cantidad de medicamento en su cuerpo, \(m\), se mide en miligramos. Según la tabla, ¿cuál es el factor de crecimiento? Es decir, ¿cuál es el valor de \(b\) en una ecuación de la forma \(m=a \boldcdot b^t\) que represente la situación? ¿Cuál es el valor de \(a\)?
    2. Encuentra las cantidades de medicamento en el cuerpo del paciente cuando \(t\) es -1 y -3. Anótalos en la tabla.
    \(t\), tiempo (horas) \(m\), medicamento (mg)
    0 100
    1 50
    2 25
  2. ¿Qué significan \(t=0\) y \(t=\text-3\) en esta situación?
  3. El medicamento se tomó cuando \(t\) era -5. Suponiendo que la persona no tenía medicamento en su cuerpo antes de esto, ¿cuánto medicamento tomó la persona?
  4. Ubica los puntos cuyas coordenadas se muestran en la tabla. Asegúrate de agregar escalas a los ejes.
    Blank coordinate plane, no grid, Origin O. Horizontal axis labeled “t”. Vertical axis, labeled “m”. Vertical axis intersects horizontal axis at origin.  

  5. Teniendo en cuenta tu gráfica, responde:

    1. ¿Cuándo crees que la persona tendrá 500 mg de medicamento en su cuerpo?
    2. ¿Cuándo crees que la persona no tendrá medicamento en su cuerpo?


Sin evaluarlas, describe cada una de estas cantidades como “cercana a 0”, “cercana a 1” o “mucho mayor que 1”.

\(\displaystyle \frac{1}{1-2^{\text-10}}\qquad\qquad \frac{2^{10}}{2^{10}+1}\qquad\qquad \frac{2^{\text-10}}{2^{10}+1}\qquad\qquad \frac{1-2^{\text-10}}{2^{10}} \qquad\qquad \frac{1+2^{10}}{2^{\text-10}}\)

 

Resumen

Las ecuaciones son útiles no solo para representar relaciones que cambian exponencialmente, sino también para responder preguntas acerca de estas situaciones.

Supongamos que una población de 1,000,000 bacterias está aumentando por un factor de 2 cada hora. ¿Cuál era el tamaño de la población hace 5 horas? ¿Hace cuántas horas la población era menor que 1,000?

Podríamos trabajar hacia atrás y calcular la población de bacterias 1 hora antes, 2 horas antes, y así sucesivamente. Por ejemplo, si la población se duplica cada hora y era de 1,000,000 cuando se observó por primera vez, una hora antes la población debe haber sido 500,000, dos horas antes debe haber sido 250,000, y así sucesivamente.

Otra forma de razonar sobre estas preguntas consiste en representar la situación con una ecuación. Si \(t\) mide el tiempo en horas que han pasado desde que la población era 1,000,000, entonces la población de bacterias se puede describir con esta ecuación:

\(\displaystyle p = 1,\!000,\!000 \boldcdot 2^t\)

La población es 1,000,000 cuando \(t\) es 0, así que 5 horas antes, \(t\) sería -5 y podemos calcular la población de esta manera:

\(\displaystyle \begin{align} 1,\!000,\!000 \boldcdot 2^{\text-5} &= 1,\!000,\!000 \boldcdot \frac{1}{2^5} \\ &= 1,\!000,\!000 \boldcdot \frac{1}{32} \\ &= 31,\!250 \end{align}\)

Del mismo modo, si reemplazamos \(t\) por -10 obtenemos \(1,\!000,\!000 \boldcdot 2^{\text-10}\) o \(1,\!000,\!000 \boldcdot \frac{1}{2^{10}}\), que es un poco menos de 1,000. Esto significa que 10 horas antes de la medición inicial, la población de bacterias era menor que 1,000.

Entradas del glosario

  • factor de crecimiento

    En una función exponencial, la salida se multiplica por el mismo factor cada vez que la entrada aumenta en uno. Este multiplicador se llama el factor de crecimiento.