Lección 18

Decide si cada expresión es igual a \((1.21)^{100}\).

\(\left((1.21)^{10}\right)^{10}\)

\(\left((1.21)^{50}\right)^{50}\)

\(\left((1.1)^2\right)^{100}\)

\((1.1)^{200}\)

1. La población de los Estados Unidos, en miles, entre los años 1790 y 1860, se puede modelar con la ecuación \(P = 4,\!000 \boldcdot (1.031)^t\), donde \(t\) es el número de años después de 1790.
   1. Aproximadamente, ¿cuántas personas vivían en los Estados Unidos en el año 1790?, ¿y en el año 1860? Muestra tu razonamiento.
   2. Aproximadamente, ¿cuál es el aumento porcentual anual que predice el modelo?
   3. Según el modelo, ¿cuál será la población en el año 2017? ¿Es buena esta predicción? Explica.
2. 1. ¿Qué aumento porcentual predice el modelo para una década? Explica.
   2. Supongamos que \(d\) representa el número de décadas después de 1790. Escribe una ecuación para \(P\) en términos de \(d\) que modele la población de los Estados Unidos (en miles).
3. 1. ¿Qué aumento porcentual predice el modelo para un siglo? Explica.
   2. Supongamos que \(c\) representa el número de siglos después de 1790. Escribe una ecuación para \(P\) en términos de \(c\) que modele la población de los Estados Unidos (en miles).

Estas son tres expresiones y tres descripciones. En cada caso, se han depositado \$1,000 en una cuenta bancaria que genera intereses. No se hacen retiros ni depósitos (aparte de los intereses ganados) durante 6 años.

Agrupa las expresiones y descripciones que representan la misma cantidad de intereses al cabo de 6 años. Uno de los grupos tiene más de dos expresiones. Una de las descripciones no tiene correspondencias. Escribe una expresión que le corresponda. 

Las expresiones se pueden escribir de distintas formas para destacar ciertos aspectos de una situación o para ayudarnos a entender mejor lo que sucede. Una tasa de crecimiento nos da el cambio porcentual. Como siempre, en situaciones de cambios porcentuales, es importante saber si el cambio es un aumento o una disminución. Por ejemplo:

• Una población aumenta en 20% cada año. La tasa de crecimiento es 20%, por lo que después de un año, se suma 0.2 veces la población que había al principio de ese año. Si la población inicial es \(p\), la población el siguiente año es \(p + 0.2p\), que es igual a \((1 + 0.2)p\) o \(1.2p\).

• Una población disminuye en 20% cada año. La tasa de crecimiento es -20%, así que después de un año, se pierde 0.2 veces la población que había al principio de ese año. Si la población inicial es \(p\), la población el siguiente año es \(p – 0.2p\), que es igual a \((1 – 0.2)p\) o \(0.8p\).

Supongamos que el área \(a\) que está cubierta por un bosque es actualmente de 50 millas cuadradas y crece en 0.2% cada año. Si \(t\) representa el tiempo en años, medido desde ahora, podemos expresar el área del bosque como:

\(\displaystyle a = 50 \boldcdot (1+0.002)^t\)

\(\displaystyle a = 50 \boldcdot (1.002)^t\)

En esta situación, la tasa de crecimiento es 0.002 y el factor de crecimiento es 1.002. Sin embargo, dado que 0.002 es un número tan pequeño, puede que sea difícil entender a partir de esta función qué tan rápido está creciendo el bosque. Nos puede dar más información medir el crecimiento cada década o cada siglo. Hay 10 años en una década, así que para encontrar la tasa de crecimiento en décadas, podemos usar la expresión \((1.002)^{10}\), que es aproximadamente 1.02. Es decir, la tasa de crecimiento es aproximadamente 2% por década. Si usamos \(d\) para medir el tiempo en décadas, el área del bosque se puede expresar como:

\(\displaystyle a=50 \boldcdot \left((1+0.002)^{10}\right)^d\)

\(\displaystyle a \approx50 \boldcdot (1.02)^d\)

Si medimos el tiempo en siglos, la tasa de crecimiento es aproximadamente 22% por siglo porque \(1.002^{100} \approx 1.22\). Si usamos \(c\) para el tiempo, en siglos, nuestra ecuación del área se vuelve:

\(\displaystyle a = 50 \boldcdot \left((1+0.002)^{100}\right)^c\)

\(\displaystyle a \approx 50 \boldcdot (1.22)^c\)