Lección 10

Llamemos \(p\) a la función que da el costo \(p(t)\), en dólares, de producir 1 vatio de energía solar \(t\) años después de 1977. Esta tabla muestra los valores de \(p\) entre 1977 y 1987.

 

Esta tabla y gráfica muestran el número de tiendas de café de una empresa, en todo el mundo, durante sus primeros 10 años de existencia, entre 1987 y 1997. El crecimiento del número de tiendas fue aproximadamente exponencial.

1. Encuentra la tasa de cambio promedio para cada periodo de tiempo. Muestra tu razonamiento.

   1. entre 1987 y 1990
   2. entre 1987 y 1993
   3. entre 1987 y 1997
2. Di algo que observes acerca de las tasas de cambio que calculaste. ¿Qué nos dicen estas tasas promedio sobre el crecimiento de la empresa?

3. Explica qué tan bien describen el crecimiento de la empresa las tasas de cambio promedio durante los siguientes periodos (usa la gráfica para sustentar tus respuestas):

   1. los primeros 3 años
   2. los primeros 6 años
   3. todos los 10 años
4. Llamemos \(f\) a la siguiente función: \(f(t)\) es el número de tiendas \(t\) años después de 1987. El valor de \(f(20)\) es 15,011. Encuentra \(\dfrac {f(20) - f(10)}{20-10}\) y explica lo que este valor nos indica acerca del cambio en el número de tiendas.

Esta es una gráfica que ya viste en una lección anterior. Representa la función exponencial \(p\) que modela el costo \(p(t)\), en dólares, de producir 1 vatio de energía solar, de 1977 a 1988, donde \(t\) es el número de años después de 1977.

1. Clare dijo: “Durante los primeros cinco años, entre 1977 y 1982, el costo disminuyó aproximadamente \$12 cada año. Pero durante los siguientes cinco años, entre 1983 y 1988, el costo tan solo disminuyó aproximadamente \$2 cada año”. Muestra que Clare tiene razón.
2. Si la tendencia se mantiene, ¿será el promedio de disminución del precio mayor o menor que \$2 cada año entre 1987 y 1992? Explica tu razonamiento.

Cuando calculamos la tasa de cambio promedio de una función lineal, el valor de la tasa de cambio será el mismo sin importar el intervalo que escojamos. ¡Tener una tasa de cambio constante es una característica importante de las funciones lineales! Cuando una función lineal se representa con una gráfica, la pendiente de la recta es la tasa de cambio de la función.

Las funciones exponenciales también tienen características importantes. Hemos aprendido sobre el crecimiento exponencial y el decaimiento exponencial. Ambos se caracterizan por tener un factor de crecimiento constante en intervalos del mismo tamaño. ¿Pero qué significa esto en términos del valor de la tasa de cambio promedio de una función exponencial en un intervalo específico?

La tasa de cambio promedio de \(A\) entre la semana de inicio del tratamiento y la semana 2 es aproximadamente -107 yardas cuadradas por semana, ya que \(\dfrac{A(2)-A(0)}{2-0} \approx \text-107\). Sin embargo, la tasa de cambio promedio de \(A\) entre la semana 2 y la semana 4 es tan solo aproximadamente -12 yardas cuadradas por semana, ya que \(\dfrac{A(4)-A(2)}{4-2} \approx \text-12\).

Estos cálculos muestran que \(A\) está disminuyendo en ambos intervalos, pero la tasa de cambio promedio es menor entre las semanas 0 y 2 que entre las semanas 2 y 4 debido a los efectos del factor de decaimiento. Si hubiéramos analizado una función de crecimiento exponencial, los valores de la tasa de cambio promedio de cada intervalo serían positivos y la tasa en el segundo intervalo tendría un mayor valor que la tasa en el primer intervalo, debido al efecto del factor de crecimiento.