Lección 11

Esta es una gráfica de una función \(f\) definida por \(f(x)=400 \boldcdot (0.2)^x\).

1. Identifica el rectángulo de vista que se muestra.

2. Sugiere un rectángulo de vista nuevo que haga que la gráfica sea:

   1. más informativa
   2. menos informativa
   Prepárate para explicar tu razonamiento.

Estas son mediciones de la altura máxima que alcanza una pelota de tenis después de rebotar varias veces sobre una superficie de hormigón.

\(n\), número del rebote	\(h\), altura (centímetros)
0	150
1	80
2	43
3	20
4	11

1. ¿Cuál función es más adecuada para modelar la altura máxima \(h\), en centímetros, de la pelota de tenis después de \(n\) rebotes: una función lineal o una función exponencial? Usa datos de la tabla para sustentar tu respuesta.
2. El reglamento de tenis indica que, al rebotar, una pelota de tenis que se suelta sobre hormigón debe alcanzar una altura entre 53% y 58% de la altura a la que se suelta. ¿Esta pelota de tenis cumple con este requisito? Explica tu razonamiento.
3. Escribe una ecuación que modele la altura de rebote, \(h\), de esta pelota de tenis después de \(n\) rebotes.
4. ¿Aproximadamente cuántos rebotes se necesitan para que la altura de rebote de la pelota de tenis sea menor que 1 centímetro? Explica tu razonamiento.

1. Completen la tabla. Asegúrense de anotar cuál balón va en cuál columna.

   n, número de rebotes	a, altura del balón 1 (cm)	b, altura del balón 2 (cm)	c, altura del balón 3 (cm)
   0
   1
   2
   3
   4

2. ¿Cuál balón parece ser el que más rebota? ¿Cuál parece ser el que menos rebota? Expliquen su razonamiento.
3. Para cada balón, escriban una ecuación que exprese la altura de rebote en términos del número de rebotes \(n\).
4. Expliquen cómo las ecuaciones nos pueden ayudar a decidir cuál es el balón que más rebota.
5. Si el balón que más rebota se deja caer desde una altura de 300 cm, ¿qué ecuación modela la altura \(h\) de sus rebotes?

La tabla muestra algunas alturas que alcanza un balón después de varios rebotes.

número del rebote	altura en centímetros
0
1
2	73.5
3	51.5
4	36

1. ¿Este balón rebota más o menos que la pelota de tenis de una actividad anterior? Explica o muestra tu razonamiento.
2. ¿Desde qué altura se dejó caer el balón? Explica o muestra tu razonamiento.
3. Escribe una ecuación que represente la altura \(h\) que alcanza el balón, en centímetros, después de \(n\) rebotes.
4. ¿Cuál gráfica es más adecuada para representar la ecuación de \(h\): la gráfica A o la gráfica B? Explica tu razonamiento.

   A

   

   

   B

   

   

5. ¿La altura que alcanza este balón después del rebote \(n\) será menor que la altura que alcanza la pelota de tenis después del mismo rebote? Explica tu razonamiento.

A veces, los datos parecen indicar que hay una relación exponencial. Por ejemplo, esta tabla muestra la altura que alcanza cierta pelota después de cada rebote. La altura disminuye con cada rebote.  

La altura \(h\) que alcanza la pelota, en cm, después de \(n\) rebotes se puede modelar con esta ecuación: 

\(\displaystyle h = 142 \boldcdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n}\)

Esta es una gráfica de la ecuación.

Esta gráfica muestra tanto los puntos de los datos como los puntos que se obtienen con la ecuación. Esto nos permite entender más sobre la situación. Por ejemplo, no nos dieron la altura desde la cual se dejó caer la pelota, pero ahora la podemos determinar. Si \(\frac23\) de la altura inicial es aproximadamente 95 centímetros, entonces la altura inicial es aproximadamente 142.5 centímetros porque \(95 \div \frac23 = 142.5\). También podemos ver que se necesitarán 7 rebotes para que la altura del rebote sea de menos de 10 centímetros.