Lección 13

Razonemos acerca de gráficas exponenciales (parte 2)

  • Investiguemos sobre lo que podemos aprender de las gráficas que representan funciones exponenciales.

13.1: Cuál es diferente: Cuatro funciones

¿Cuál es diferente?

\(f(n) = 8 \boldcdot 2^n\)

\(g(n) = 2 \boldcdot 8^n\)

\(h(n) = 8 + 2n\)

\(j(n) = 8 \boldcdot \left( \frac12 \right)^n\)

13.2: El valor de una computadora

  1. Esta gráfica representa una función exponencial \(f\). La función \(f\) da el valor de una computadora, en dólares, en función del tiempo, \(x\), medido en años después de su compra.
    Graph of a decreasing exponential function, x y plane, origin O.

    Teniendo en cuenta la gráfica, qué puedes decir acerca de:

    1. El precio de compra de la computadora.
    2. El valor de \(f\) cuando \(x\) es 1.
    3. El significado de \(f(1)\).
    4. Cómo cambia el valor de la computadora cada año.
    5. Una ecuación que defina \(f\).
    6. Si es posible que el valor de \(f\) llegue a 0 después de 10 años.

  2. Estas son las gráficas de dos funciones exponenciales. Para cada una, escribe una ecuación que defina la función y encuentra el valor de la función cuando \(x\) es 5.

    1. Graph of an increasing exponential function, x y plane, origin O.   
    2. Graph of a decreasing exponential function, x y plane, origin O.


Considera la función \(f\) definida por \(f(x)=a\boldcdot b^x\).

  • Si la gráfica de \(f\) pasa por los puntos \((2,10)\) y \((8,30)\), ¿esperas que \(f(5)\) sea menor, mayor o igual a 20?
  • Si la gráfica de \(f\) pasa por los puntos \((2,30)\) y \((8,10)\), ¿esperas que \(f(5)\) sea menor, mayor o igual a 20?

13.3: Una pared con moho

Considera estas gráficas de dos funciones junto sus descripciones.

Graph of two exponential functions, origin O. time(months) and area (square inches). 
  • Función \(f\): el área de la pared, en pulgadas cuadradas, cubierta por moho tipo A, se duplica cada mes.
  • Función \(g\): el área de la pared, en pulgadas cuadradas, cubierta por moho tipo B, se triplica cada mes.
  1. ¿Cuál gráfica representa cuál función? Marca las gráficas según corresponda y explica tu razonamiento.
  2. Cuando el moho se descubrió y se midió por primera vez, ¿había más del moho tipo A o del moho tipo B? Explica cómo lo sabes.
  3. Describe el significado del punto \((p, q)\) en esta situación.

Resumen

Si tenemos suficiente información acerca de una gráfica que representa una función exponencial \(f\), podemos escribir una ecuación que le corresponde. Esta es una gráfica de \(y = f(x)\).

Una ecuación que define una función exponencial tiene la forma \(f(x) = a \boldcdot b^x\). El valor de \(a\) es el valor inicial o \(f(0)\), así que \(a\) es la intersección de la gráfica con el eje \(y\). Podemos ver que \(f(0)\) es 500 y que la función decrece.

Graph of a function on grid.

El valor de \(b\) es el factor de crecimiento. Es el valor por el cual se multiplica la salida de la función en \(x\) para obtener la salida de la función en \(x+1\). Para encontrar el factor de crecimiento de \(f\), podemos calcular \(\frac{f(1)}{f(0)}\), que es \(\frac{300}{500}\) o \(\frac35\). Como ahora sabemos los valores de \(a\) y \(b\), podemos escribir una ecuación que define \(f\):

\(\displaystyle f(x) = 500 \boldcdot \left(\frac{3}{5}\right)^x\)

También podemos usar gráficas para comparar funciones. Estas gráficas representan dos funciones exponenciales distintas, \(g\) y \(h\). Cada una representa el área cubierta de algas (en metros cuadrados) en un lago, \(x\) días después de que se introdujeran ciertos peces.

  • El lago A tenía 40 metros cuadrados cubiertos de algas. El área se reduce a \(\frac{8}{10}\) del área del día anterior.
  • El lago B tenía 50 metros cuadrados cubiertos de algas. El área se reduce a \(\frac 25\) del área del día anterior.
Graph of 2 functions on a grid.

¿Puedes reconocer cuál gráfica corresponde a cuál población de algas?

Vemos que la intersección de la gráfica de \(g\) con el eje \(y\) es mayor que la intersección de la gráfica de \(h\) con el eje \(y\). También vemos que \(g\) tiene un factor de crecimiento menor que \(h\), porque cuando \(x\) aumenta en la misma cantidad, \(g\) conserva una fracción menor de su valor en comparación con \(h\). Esto nos indica que \(g\) corresponde al lago B y \(h\) corresponde al lago A.

Entradas del glosario

  • función exponencial

    Una función exponencial es una función que tiene un factor de crecimiento constante. Otra forma de decir esto es que crece por el mismo factor en intervalos de la misma longitud. Por ejemplo, \(f(x)=2 \boldcdot 3^x\) es una función exponencial. Siempre que \(x\) aumenta 1, \(f(x)\) aumenta en un factor de 3.