Lección 1

Crecer y crecer

  • Escojamos la mejor opción.

1.1: Una bacteria que se divide

Bacteria viewed through a microscope.

Hay unas bacterias en una placa. Cada hora, cada bacteria se divide en 3 bacterias.

  1. Este diagrama muestra una bacteria en la hora 0 y las 3 bacterias que hay en la hora 1. Dibuja lo que ocurre en las horas 2 y 3.
    The picture shows 1 bacterium (an irregular polygon with a double outline and light blue inside) for hour 0, then an arrow to the right, then 3 bacteria for hour 1.
  2. ¿Cuántas bacterias hay en la hora 2 y en la hora 3?

1.2: Un genio en una botella

Vas caminando por una playa y tu pie choca contra algo duro. ¡Te agachas y sacas una botella! La botella está cubierta de arena. Al limpiarla con tu toalla, ¡puf!, aparece un genio.

El genio dice: “¡Gracias por liberarme de esa botella! Me estaba dando claustrofobia. Como recompensa, puedes elegir uno de estos monederos”.

  • El monedero A tiene \$1,000 hoy. Si no sacas dinero del monedero, mañana tendrá \$1,200 (por arte de magia). Al siguiente día, tendrá \$1,400. Este patrón, de \$200 adicionales cada día, continuará.
  • El monedero B tiene 1 centavo hoy. Deja el centavo allí porque mañana se habrá convertido (mágicamente) en 2 centavos. Al siguiente día, habrá 4 centavos. La cantidad en el monedero continuará duplicándose cada día.
  1. ¿Cuánto dinero habrá en cada monedero al cabo de una semana? ¿Al cabo de dos semanas? 
  2. El genio dice que dejará aumentar el dinero en cada monedero por tres semanas. ¿Cuánto dinero habrá en cada monedero al cabo de las tres semanas?
  3. ¿Cuál monedero tiene más dinero al cabo de 30 días?

1.3: Grafiquemos lo que el genio ofrece

Estas gráficas muestran cómo cambia la cantidad de dinero en los monederos. Recuerda que el monedero A comienza con \$1,000 y la cantidad de dinero aumenta \$200 cada día. El monedero B comienza con \$0.01 y la cantidad de dinero se duplica cada día.

Graph of an exponential function, origin O. number of days and amount in dollar.
  1. ¿Cuál gráfica muestra la cantidad de dinero que hay en el monedero A? ¿Cuál gráfica muestra la cantidad de dinero que hay en el monedero B? Explica cómo lo sabes.
  2. Los puntos \(P\) y \(Q\) están marcados en la gráfica. Explica lo que significan en términos de lo que ofrece el genio.
  3. ¿Cuáles son las coordenadas de la intersección de cada gráfica con el eje vertical? Explica cómo lo sabes.
  4. ¿En qué día pasa a ser una mejor opción el monedero B que el monedero A? Explica tu razonamiento.
  5. Teniendo en cuenta lo que sabes ahora, ¿cuál monedero escogerías? Explica tu razonamiento.


“Bien, bien”, el genio sonríe, decepcionado. “Te haré una oferta aún más tentadora”. Él explica que la cantidad de dinero del monedero B aumenta igual que antes, pero que la cantidad de dinero del monedero A ahora aumenta \$250,000 cada día. ¿Cuál monedero deberías escoger?

Resumen

Cuando duplicamos repetidamente un número positivo, en algún momento se vuelve muy grande. Empecemos con 0.001. La tabla muestra lo que ocurre cuando empezamos a duplicarlo:

0.001 0.002 0.004 0.008 0.016

Si queremos continuar este proceso, es conveniente usar un exponente. Por ejemplo, la última entrada de la tabla, 0.016, es 0.001 después de duplicarlo 4 veces, o \((0.001) \boldcdot 2\boldcdot 2\boldcdot 2\boldcdot 2\), que se puede expresar como \((0.001) \boldcdot 2^4\).

Aunque empezamos con un número muy pequeño, 0.001, no tenemos que duplicarlo muchas veces para obtener un número muy grande. Por ejemplo, si lo duplicamos 30 veces, que se representa con \((0.001) \boldcdot 2^{30}\), el resultado es mayor que 1,000,000.

A lo largo de esta unidad, exploraremos muchas situaciones en las que las cantidades crecen o disminuyen al multiplicar repetidamente por el mismo factor.