Lección 17

Distintos intervalos de capitalización

  • Descubramos lo que ocurre cuando aplicamos repetidamente el mismo aumento porcentual en distintos intervalos de tiempo.

Problema 1

La población de una ciudad en el año 2010 es 50,000 y crece en 5% cada año.

  1. Escribe una función \(f\) que modele la población de la ciudad \(t\) años después de 2010.
  2. ¿Cuál es la población de la ciudad en el año 2017?
  3. ¿Cuál será la población de la ciudad en el año 2020?, ¿y en el año 2030?
  4. ¿Por qué factor crece la población entre los años 2010 y 2020?, ¿y entre los años 2020 y 2030?

Problema 2

Una persona hace un gasto de \$100 con una tarjeta de crédito que tiene una tasa de interés nominal anual del 24%.

Suponiendo que no se realizan más gastos ni pagos, encuentra el valor de la deuda en dólares después de 1 año si el interés se calcula:

  1. anualmente
  2. cada 6 meses
  3. cada 3 meses
  4. mensualmente
  5. diariamente

Problema 3

Una pareja tiene \$5,000 para invertir y tiene que elegir entre tres opciones de inversión.

  • Opción A: cada trimestre, el saldo aumenta en \(2\frac{1}{4} \%\) debido a la tasa de interés que se aplicó
  • Opción B: cada 4 meses, el saldo aumenta en \(3\%\) debido a la tasa de interés que se aplicó
  • Opción C: cada 6 meses, el saldo aumenta en \(4\frac{1}{2}\%\) debido a la tasa de interés que se aplicó

Si tienen previsto no hacer depósitos ni retiros durante 5 años, ¿con cuál de las opciones obtendrán el mayor saldo después de 5 años? Explica tu elección usando un modelo matemático para cada opción.

Problema 4

Elena dice que un interés del 6% que se paga semestralmente (cada 6 meses) es igual que un interés del 1% que se paga cada mes: ella piensa que son iguales porque ambos equivalen a una tasa de interés nominal anual del 12%.

  1. ¿Elena tiene razón al decir que ambas opciones ofrecen una tasa de interés nominal anual del 12%?
  2. ¿Elena tiene razón al decir que en ambas opciones se paga la misma cantidad de intereses?

Problema 5

Un banco paga intereses con una tasa de interés nominal anual del 8%, que se capitaliza al final de cada mes. Al comienzo hay \$600 en una cuenta y no se hacen más retiros ni depósitos.

  1. ¿Cuál es la tasa de interés mensual?
  2. Escribe una expresión que represente el saldo de la cuenta, en dólares, después de un año.
  3. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual?
  4. Escribe una expresión que represente el saldo de la cuenta, en dólares, después de \(t\) años.

Problema 6

Al final de cada año, se cobra un interés del 10% sobre un préstamo de $500. El interés se calcula sobre todo el valor de la deuda, incluido el interés anterior.

Selecciona todas las expresiones que representan el valor de la deuda después de dos años si no se hacen pagos para reducir la deuda.

A:

\(500 + 2 \boldcdot (0.1) \boldcdot 500\)

B:

\(500 \boldcdot (1.1) \boldcdot (1.1)\)

C:

\(500 + (0.1) + (0.1)\)

D:

\(500 \boldcdot (1.1)^2\)

E:

\((500 + 50) \boldcdot (1.1)\)

(de la Unidad 5, Lección 15.)

Problema 7

Esta es una gráfica de la función \(f\) dada por \(f(x) = 100 \boldcdot 2^x\).

Supongamos que \(g\) es la función dada por \(g(x) = 50 \boldcdot (1.5)^x\).

¿La gráfica de \(g\) se cruzará con la gráfica de \(f\) en algún valor positivo de \(x\)? Explica cómo lo sabes.

Graph of a line, origin O. Horizontal axis 0 to 3, by 1’s, labeled x. Vertical from 0 to 900, by 100’s, labeled y. Line starts at 0 comma 100, passes through 1 comma 200, 2 comma 400, 3 comma 800.  
(de la Unidad 5, Lección 12.)

Problema 8

Supongamos que \(m\) y \(c\) representan, cada una, el número de posición de una letra en el alfabeto, pero \(m\) representa las letras del mensaje original, que está en inglés, y \(c\) representa las letras del mensaje secreto (codificado).

La ecuación \(c = m + 7\) se usa para codificar un mensaje. 

  1. Escribe una ecuación que se pueda usar para decodificar el mensaje secreto y obtener el mensaje original. 
  2. ¿Qué dice el mensaje secreto: “AOPZ PZ AYPJRF!”?
(de la Unidad 4, Lección 15.)