Lección 12

Razonemos acerca de gráficas exponenciales (parte 1)

  • Estudiemos y comparemos ecuaciones y gráficas de funciones exponenciales.

Problema 1

Estas ecuaciones definen tres funciones exponenciales \(f\), \(g\) y \(h\).

\(f(x) = 100 \boldcdot 3^x\)

\(g(x) = 100 \boldcdot (3.5)^x\)

\(h(x) = 100 \boldcdot 4^x\)

  1. ¿Cuál de estas funciones crece más lento? ¿Cuál crece más rápido? Explica cómo lo sabes.

  2. Las tres gráficas dadas representan \(f\), \(g\) y \(h\). ¿Cuál gráfica corresponde a cada función?

    Graph of three increasing exponential functions, xy-plane, origin O.
  3. ¿Por qué tienen las tres gráficas el mismo punto de intersección con el eje vertical?

Problema 2

Estas son las gráficas de tres ecuaciones exponenciales.

Empareja cada ecuación con su gráfica.

Graph of three increasing exponential functions, xy-plane, origin O.
A:

\(y = 20 \boldcdot 3^x\)

B:

\(y = 50 \boldcdot 3^x\)

C:

\(y = 100 \boldcdot 3^x\)

1:

K

2:

L

3:

M

Problema 3

La función \(f\) está dada por \(f(x) = 160 \boldcdot \left(\frac{4}{5}\right)^x\) y la función \(g\) está dada por \(g(x) = 160 \boldcdot \left(\frac{1}{5}\right)^x\). La gráfica de \(f\) está marcada con una \(A\) y la gráfica de \(g\) con una \(C\).

Si \(h\) está definida por \(h(x) = a\boldcdot b^x\) y la gráfica de \(h\) es \(B\), ¿qué puedes decir acerca de \(a\) y \(b\)? Explica tu razonamiento. 

Graph of three lines.

 

Problema 4

Esta es la gráfica de \(y = 100 \boldcdot 2^x\).

En el mismo plano de coordenadas:

  1. Dibuja la gráfica de \(y = 50\boldcdot 2^x\) y márcala con una \(A\).
  2. Dibuja la gráfica de \(y = 200 \boldcdot 2^x\) y márcala con una \(B\).
Graph of line, origin O. Horizontal axis 0 to 3, by 1’s, labeled x. Vertical from 0 to 900, by 100’s, labeled y. Line starts at 0 comma 100, passes through 1 comma 200, 2 comma 400, 3 comma 800.  

 

Problema 5

¿Esta gráfica representa la región solución de cuál desigualdad?

Inequality graphed on a coordinate plane, origin O. Each axis from negative 4 to 4, by 2’s. Solid line goes through negative 4 comma negative 6, 0 comma negative 3, and 4 comma 0. The region above the solid line is shaded.

A:

\(3x - 4y > 12\)

B:

\(3x - 4y \geq 12\)

C:

\(3x - 4y < 12\)

D:

\(3x - 4y \leq 12\)

(de la Unidad 2, Lección 21.)

Problema 6

Requiere el uso de tecnología. Empieza con un cuadrado de 1 unidad cuadrada de área (no se muestra). Subdivídelo en 9 cuadrados que tengan la misma área y quita el cuadrado de la mitad para obtener la primera figura que se muestra (la de la izquierda).

4 figures showing construction of a pattern.
  1. ¿Cuál es el área de la primera figura que se muestra? (la de la izquierda)
  2. Toma los 8 cuadrados que quedan y subdivide cada uno en 9 cuadrados iguales. De cada grupo de 9 cuadrados, quita el cuadrado de la mitad. ¿Cuál es el área de la figura ahora?
  3. Continúa el proceso y encuentra el área de la figura en los pasos 3 y 4.
  4. Escribe una ecuación que represente el área \(A\) de la figura en el paso \(n\).
  5. Usa tecnología para graficar tu ecuación.
  6. Usa tu gráfica para encontrar el paso en el que por primera vez el área de la figura es menor que \(\frac12\) unidad cuadrada.
(de la Unidad 5, Lección 5.)

Problema 7

La ecuación \(b = 500 \boldcdot (1.05)^t\) da el saldo de una cuenta bancaria \(t\) años después de que esta se abrió. La gráfica muestra el saldo anual de la cuenta a lo largo de 10 años.

  1. ¿Cuál es la tasa de cambio promedio anual de la cuenta?
  2. ¿Es la tasa de cambio promedio una buena medida de cómo varía el dinero de la cuenta? Explica tu razonamiento.
Graph of function.
(de la Unidad 5, Lección 10.)