Lección 24

Usemos ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolver problemas

  • Analicemos una situación que se modeló con una ecuación cuadrática.

24.1: Ecuaciones de dos rectas y una curva

  1. En cada caso, escribe la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos dados.

    1. (3,3) y (5,5)
    2. (0,4) y (\text-4,0)
  2. Soluciona esta ecuación: x+1=(x-2)^2-3. Muestra tu razonamiento.

24.2: El clavado

La función h, definida por h(t)=\text-5t^2+10t+7.5, modela la altura a la que está una clavadista sobre el agua, en metros, t segundos después de saltar desde el trampolín. Responde cada pregunta y explica cómo razonaste.
  1. ¿A qué altura sobre el agua está el trampolín?
  2. ¿Cuándo toca el agua la clavadista?
  3. ¿En qué punto de su descenso la clavadista está a la misma altura que el trampolín?
  4. ¿Cuándo alcanza la clavadista la altura máxima durante el salto?
  5. ¿Qué altura máxima alcanza la clavadista durante el salto?


Otra clavadista salta desde una plataforma, en vez de un trampolín. La plataforma también está a 7.5 metros sobre el agua, pero esta clavadista toca el agua aproximadamente 1.5 segundos después de saltar.

Escribe una ecuación que modele aproximadamente la altura a la que está la clavadista sobre el agua, h, en metros, t segundos después de saltar desde la plataforma. Incluye el término \text-5t^2, que da cuenta del efecto de la gravedad.

24.3: Una función lineal y una función cuadrática

Estas son gráficas de una función lineal y de una función cuadrática. La función cuadrática está definida por la expresión (x-4)^2-5.

Encuentra las coordenadas de P, Q y R sin usar tecnología para graficar. Muestra tu razonamiento.

Graph of a linear function and a quadratic function.

Resumen

Ciertas situaciones de la vida real se pueden modelar con funciones cuadráticas y esas funciones se pueden representar con ecuaciones. Para darle sentido a esas situaciones, a veces se necesitan todas las habilidades que hemos desarrollado. Cuando tenemos un modelo matemático y hemos desarrollado las habilidades para responder las preguntas usando el modelo, podemos obtener información útil o interesante acerca de la situación.

Supongamos que el modelo de la altura a la que está un objeto que se lanzó, h, como función del tiempo desde que fue lanzado, t, es h(t) = \text-4.9t^2 + 28t + 2.1. Podemos responder preguntas acerca de la trayectoria del objeto, como:

  • ¿Desde qué altura se lanzó el objeto?

 (Una expresión escrita en forma estándar nos puede ayudar con esta pregunta. También podemos evaluar h(0) para encontrar la respuesta).

  • ¿Cuánto tiempo después de ser lanzado cayó al suelo?

(Cuando un objeto toca el suelo, su altura es 0, y podemos encontrar los ceros usando uno de los métodos que aprendimos: graficar, reescribir en forma factorizada la expresión, completar el cuadrado o usar la fórmula cuadrática).

  • ¿Cuál fue su altura máxima y en qué tiempo alcanzó la altura máxima?

(Podemos reescribir la expresión en forma canónica, pero también podemos usar los ceros de la función o una gráfica). 

A veces, las relaciones entre cantidades se pueden comunicar de forma más efectiva con gráficas y expresiones que con palabras. Por ejemplo, estas gráficas representan una función lineal, f, y una función cuadrática, g, que tienen la misma variable de entrada y la misma variable de salida.

Parabola and line on an x y axis. Parabola opens downward with vertex in the 1st quadrant. Line begins on the y axis below 0 and moves upward into the 1st quadrant.

Si conocemos las expresiones que definen estas funciones, podemos usar lo que ya sabemos sobre ecuaciones cuadráticas para responder preguntas como:

  • ¿Para algún valor de entrada las dos funciones tendrán el mismo valor de salida?

(Sí. Podemos ver que sus gráficas se intersecan en un par de lugares).

  • Si es así, ¿para qué valores de entradas? En cada caso, ¿cuál es el valor de salida común?

(Para descifrarlo, podemos escribir y solucionar esta ecuación: f(x) = g(x)).