Lección 13

Completemos el cuadrado (parte 2)

  • Solucionemos ecuaciones cuadráticas más difíciles.

13.1: Conversación matemática: Ecuaciones que tienen fracciones

Soluciona mentalmente cada ecuación.

\(x+x=\frac14\)

\((\frac32) ^2 = x\)

\(\frac35 + x = \frac95\)

\(\frac{1}{12}+x=\frac14\)

13.2: Solucionemos ecuaciones más difíciles

Soluciona estas ecuaciones completando el cuadrado.

  1. \((x-3)(x+1)=5\)
  2. \(x^2 + \frac12 x = \frac{3}{16}\)
  3. \(x^2+3x+\frac84=0\)
  4. \((7-x)(3-x)+3=0\)
  5. \(x^2+1.6x+0.63=0\)


  1. Muestra que la ecuación \(x^2+10x+9=0\) es equivalente a \((x+3)^2+4x=0\).
  2. Escribe una ecuación que sea equivalente a \(x^2+9x+16=0\) y que incluya la expresión \((x+4)^2\).
  3. ¿Este método te ayudó a encontrar las soluciones de las ecuaciones? Explica tu razonamiento.

13.3: ¡Descubramos los errores!

Estas son cuatro ecuaciones junto con una solución propuesta para cada una. En cada solución hay al menos un error.

  • Soluciona una o más de estas ecuaciones completando el cuadrado.
  • Para cada ecuación que soluciones, examina la solución propuesta. Encuentra y describe el error o los errores que hay.
  1. \(x^2 + 14x= \text-24\)
  2. \(x^2 - 10x + 16= 0\)
  3. \(x^2 + 2.4x = \text-0.8\)
  4. \(x^2 - \frac65 x + \frac15 = 0\)

Soluciones propuestas (con errores):

1.

\(\displaystyle \begin {align} x^2 + 14x &= \text-24\\ x^2 + 14x + 28 &= 4\\ (x+7)^2 &= 4\\ \\x+7 = 2 \quad &\text {o} \quad x+7 = \text-2\\ x = \text-5 \quad &\text {o} \quad x = \text-9 \end{align}\)

2.

\(\displaystyle \begin {align} x^2 - 10x + 16 &= 0\\x^2 - 10x + 25 &= 9\\(x - 5)^2 &= 9\\ \\x-5=9 \quad &\text {o} \quad x-5 = \text-9\\ x=14 \quad &\text {o} \quad x=\text-4 \end{align}\)

3.

\(\displaystyle \begin {align}x^2 + 2.4x &= \text-0.8\\x^2 + 2.4x + 1.44 &= 0.64\\(x + 1.2)^2&=0.64\\x+1.2 &= 0.8\\ x &=\text -0.4 \end{align}\)

4.

\(\displaystyle \begin {align} x^2 - \frac65 x + \frac15 &= 0\\x^2 - \frac65 x + \frac{9}{25} &= \frac{9}{25}\\ \left(x-\frac35\right)^2 &= \frac{9}{25}\\ \\x-\frac35= \frac35 \quad &\text {o} \quad x-\frac35=\text- \frac35\\ x=\frac65 \quad &\text {o} \quad x=0 \end{align}\)

Resumen

Completar el cuadrado puede ser un método útil para solucionar ecuaciones cuadráticas cuando tenemos una expresión que no es fácil reescribir en forma factorizada. Por ejemplo, solucionemos esta ecuación:

\(\displaystyle x^2 + 5x - \frac{75}{4}=0\)

Para facilitar las cosas, primero sumemos \(\frac{75}{4}\) a cada lado.

\(\displaystyle \begin {align} x^2 + 5x - \frac{75}{4}+ \frac{75}{4} &= 0+\frac{75}{4}\\ x^2 + 5x &= \frac{75}{4} \end {align}\)

Para completar el cuadrado, tomemos \(\frac12\) del coeficiente del término lineal \(5x\), es decir \(\frac52\), y elevémoslo al cuadrado. Obtenemos \(\frac{25}{4}\). Sumemos esto a cada lado:

\(\displaystyle \begin {align}x^2 + 5x + \frac{25}{4} &= \frac{75}{4} + \frac{25}{4}\\x^2 + 5x + \frac{25}{4} &= \frac{100}{4} \end{align}\)

Observemos que \(\frac{100}{4}\) es igual a 25 y reescribamos la ecuación:

\(\displaystyle x^2 + 5x + \frac{25}{4} =25\)

Como el lado izquierdo ahora es un cuadrado perfecto, reescribamos la ecuación:

\(\displaystyle \left(x+\frac52 \right)^2 = 25\)

Para que esta ecuación sea verdadera, una de estas ecuaciones debe ser verdadera:

\(\displaystyle x + \frac52 = 5 \quad \text{o} \quad x + \frac52 = \text-5\)

Para terminar, podemos restar \(\frac52\) a cada lado del signo igual en cada ecuación:

\(\displaystyle \begin {align} x = 5 - \frac52 \quad &\text{o} \quad x = \text-5 - \frac52\\x = \frac{5}{2} \quad &\text{o} \quad x = \text-\frac{15}{2}\\x = 2\frac12 \quad &\text{o} \quad x = \text-7\frac12 \end{align}\)

Se necesita práctica para llegar a dominar el método de completar el cuadrado, pero al usar este método es posible solucionar muchas más ecuaciones cuadráticas que las que se podrían solucionar usando solo los métodos que aprendimos antes.

Entradas del glosario

  • completar el cuadrado

    Completar el cuadrado en una expresión cuadrática significa transformarla en una de la forma \(a(x+p)^2-q\), donde \(a\), \(p\) y \(q\) son constantes.

    Completar el cuadrado en una ecuación cuadrática significa transformarla en una de la forma \(a(x+p)^2=q\).

  • cuadrado perfecto
    Un cuadrado perfecto es una expresión que es igual a algo multiplicado por sí mismo. Con frecuencia nos interesan los casos en los que ese algo es un número racional o una expresión que tiene coeficientes racionales.
  • número racional

    Un número racional es una fracción o el opuesto de una fracción. Recuerda que una fracción es un punto en la recta numérica que se obtiene si dividimos el intervalo unitario en \(b\) partes iguales y encontramos el punto cuya distancia a 0 es \(a\) de estas partes. Siempre podemos escribir una fracción en la forma \(\frac{a}{b}\), donde \(a\) y \(b\) son números enteros y \(b\) no es igual a 0, pero hay otras maneras de escribir fracciones. Por ejemplo, 0.7 es una fracción, ya que es el punto en la recta numérica que se obtiene si dividimos el intervalo unitario en 10 partes iguales y encontramos el punto cuya distancia a 0 es igual a 7 de estas partes. El número 0.7 también lo podemos escribir como \(\frac{7}{10}\).

    Los números \(3\), \(\text-\frac34\) y \(6.7\) son todos números racionales. Los números \(\pi\) y \(\text-\sqrt{2}\) no son números racionales porque no se pueden escribir como fracciones ni como opuestos de fracciones.