Lección 19

Deduzcamos la fórmula cuadrática

  • Descubramos de dónde viene la fórmula cuadrática.

19.1: Estudiemos la estructura

Cada fila de la tabla tiene un cuadrado perfecto escrito tanto en forma factorizada como en forma estándar junto con una expresión que relaciona esas dos formas.

  1. Estudia los primeros ejemplos (están parcialmente desarrollados). Después, completa los números que faltan en la tabla.

    forma factorizada forma estándar
    \((x+4)^2\) \((1x)^2 + 2(\underline{\hspace{.2in}}x)(\underline{\hspace{.2in}}) + 4^2\) \(x^2 + 8x + 16\)
    \((2x + 5)^2\) \((2x)^2 + 2(\underline{\hspace{.2in}}x)(\underline{\hspace{.2in}}) + 5^2 \) \(4x^2 + 20x + 25 \)
    \((3x-4)^2\) \((3x)^2 + 2(\underline{\hspace{0.2in}}x)(\underline{\hspace{0.2in}}) + (\underline{\hspace{0.2in}})^2 \) \(9x^2 - 24x + 16\)
    \((5x+\underline{\hspace{0.3in}})^2\) \((\underline{\hspace{.2in}}x)^2 + 2(\underline{\hspace{0.2in}}x)(\underline{\hspace{0.2in}}) + (\underline{\hspace{0.2in}})^2 \) \(25x^2 +30x + \underline{\hspace{0.3in}}\)
    \((kx+m)^2\) \((\underline{\hspace{.2in}}x)^2 + 2(\underline{\hspace{0.2in}}x)(\underline{\hspace{0.2in}}) + (\underline{\hspace{0.2in}})^2 \) \(\underline{\hspace{0.2in}}x^2 + \underline{\hspace{0.2in}}x + \underline{\hspace{0.2in}}\)  
  2. Examina la expresión de la última fila. Si \(ax^2 + bx+c\) es equivalente a \((kx+m)^2\), ¿cómo se relacionan \(a, b\) y \(c\) con \(k\) y \(m\)?

19.2: Completemos el cuadrado usando una letra temporal

  1. Una manera de solucionar la ecuación cuadrática \(x^2 + 5x + 3 = 0\) es completar el cuadrado. Se muestra una solución parcial. Estudia los pasos.

    Ahora, sabiendo que \(P\) se usa para denotar \(2x\), despeja \(x\). No evalúes nada de la expresión. Prepárate para explicar cada paso.

    \(\displaystyle \begin {align} x^2 + 5x + 3 &= 0 &\qquad& \text {Ecuación original}\\\\ 4x^2 + 20x + 12 &= 0 &\qquad& \text {Multiplicamos por 4 a cada lado}\\\\ 4x^2 + 20x &= \text-12 &\qquad& \text {Restamos 12 a cada lado}\\\\ (2x)^2 + 10(2x) &= \text-12 &\qquad& \text {Reescribimos }4x^2 \text{como }(2x)^2 \text { y }20x \text{ como }10(2x)\\\\ P^2 + 10P &= \text-12 &\qquad& \text {Usamos una } P \text{ para denotar }2x\\\\ P^2 + 10P + \underline{\hspace{0.3in}}^2 &= \text-12 + \underline{\hspace{0.3in}}^2\\\\ (P+\underline{\hspace{0.3in}})^2 &= \text-12 + \underline{\hspace{0.3in}}^2\\\\ P+\underline{\hspace{0.3in}} &= \pm \sqrt {\text-12 + \underline{\hspace{0.3in}}^2}\\\\ P &= \underline{\hspace{0.3in}} \pm \sqrt {\text-12 + \underline{\hspace{0.3in}}^2}\\\\ P &= \underline{\hspace{0.3in}} \pm \sqrt {\underline{\hspace{0.3in}}^2 - 12}\\\\ 2x &= \underline{\hspace{0.3in}} \pm \sqrt {\underline{\hspace{0.3in}}^2 - 12}\\\\ x &= \\ \end {align}\)

  2. Explica qué relación hay entre la solución y la fórmula cuadrática.

19.3: Descifremos la fórmula cuadrática

Esta deducción consta de varios pasos para entender de dónde sale la fórmula cuadrática. Estudia este proceso hasta que puedas explicar lo que ocurre en cada paso. Escribe tu explicación al lado de cada paso.

\(\displaystyle \begin {align} ax^2 + bx + c &= 0\\\\ 4a^2x^2 + 4abx + 4ac &= 0\\\\ 4a^2x^2+4abx &=\text-4ac\\\\ (2ax)^2 + 2b(2ax) &= \text-4ac\\\\ M^2 + 2bM &= \text-4ac\\\\ M^2 + 2bM + b^2 &= \text-4ac + b^2\\\\ (M+b)^2 &= b^2-4ac\\\\ M+b &= \pm \sqrt{b^2-4ac}\\\\ M &= \text-b \pm \sqrt{b^2-4ac}\\\\ 2ax &= \text-b \pm \sqrt{b^2-4ac}\\\\ x &= \frac {\text-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end {align}\)



Esta es otra manera de deducir la fórmula cuadrática completando el cuadrado.
  • Primero, dividimos cada lado de la ecuación \(ax^2+bx+c=0\) entre \(a\) y obtenemos \(x^2+\frac {b}{a}x+\frac{c}{a}=0\).
  • Después, completamos el cuadrado en \(x^2+\frac {b}{a}x+\frac{c}{a}=0\).
  1. Estos son los primeros pasos de este método. Explica brevemente lo que ocurre en cada paso.

    \(\begin{align} x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} &= 0 &\qquad& \text{Ecuación original}\\ x^2 + \frac{b}{a}x &= \text-\frac{c}{a} &\qquad& \text[1]\\ x^2 + 2\left(\frac {b}{2a}\right)x + \left(\frac {b}{2a}\right)^2&=\text-\frac ca + \left(\frac {b}{2a}\right)^2 &\qquad& \text[2]\\ \left(x+\frac {b}{2a}\right)^2&= \text- \frac ca + \frac {b^2}{4a^2} &\qquad& \text[3]\\ \left(x+\frac {b}{2a}\right)^2&= \text- \frac {4ac}{4a^2} + \frac {b^2}{4a^2} &\qquad& \text[4]\\ \left(x+\frac {b}{2a}\right)^2&= \frac {b^2-4ac}{4a^2} &\qquad& \text[5]\\ x+\frac{b}{2a} &= \pm \sqrt { \frac {b^2-4ac}{4a^2}} &\qquad& \text[6]\\ x+\frac{b}{2a} &= \pm \frac {\sqrt {b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}} &\qquad& \text[7] \end{align}\)

  2. Continúa el proceso hasta que obtengas la ecuación \(x = \dfrac{\text-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\).

Resumen

Recordemos que cualquier ecuación cuadrática se puede solucionar completando el cuadrado. En esencia, la fórmula cuadrática es lo que obtenemos al recoger en una sola expresión todos los pasos que seguimos para completar el cuadrado en \(ax^2 + bx+c =0\).

Si desarrollamos un factor al cuadrado como \((3x+5)^2\), obtenemos \((3x)^2 + 2(5)(3x) + 25\). Observemos que \((3x)\) aparece en dos lugares. Si reemplazamos \((3x)\) por una letra como \(P\), obtenemos \(P^2+10P+25\), que es un cuadrado perfecto fácil de reconocer.

De la misma manera, si desarrollamos \((kx+m)^2\), obtenemos \((kx)^2+2m(kx)+m^2\). Si reemplazamos \(kx\) por \(P\), obtenemos \(P^2+2mP+m^2\), que también es un cuadrado perfecto fácil de reconocer.

En esencia, completar el cuadrado es hacer que la expresión a un lado de la ecuación tenga la misma estructura que \((kx)^2 + 2m(kx) + m^2\). Si reemplazamos \((kx)\) por una letra, es más fácil ver lo que necesitamos para completar el cuadrado. ¡Completemos el cuadrado en \(ax^2 + bx+c =0\)!

  • Comenzamos por restar \(c\) a ambos lados.

\(\displaystyle ax^2 + bx = \text-c\)

  • Después, multiplicamos a ambos lados por \(4a\). Así, el coeficiente de \(x^2\) en el lado izquierdo será \(4a^2\) (que es un cuadrado perfecto).

\(\displaystyle 4a^2x^2 +4abx = \text-4ac\)

  • \(4a^2x^2\) se puede escribir como \((2ax)^2\) y \(4abx\) se puede escribir como \(2b(2ax)\).

\(\displaystyle (2ax)^2 + 2b(2ax) = \text-4ac\)

  • Reemplazamos \((2ax)\) por la letra \(P\).

\(\displaystyle P^2 + 2bP= \text-4ac\)

  • \(b^2\) es el término constante que completa el cuadrado, así que sumamos \(b^2\) a cada lado.

\(\displaystyle P^2 + 2bP + b^2 = \text-4ac\ + b^2\)

  • La expresión que está al lado izquierdo es ahora un cuadrado perfecto y se puede escribir como un factor al cuadrado.

\(\displaystyle (P + b)^2 = b^2 -4ac\)

  • Las raíces cuadradas de la expresión que está al lado derecho nos dan los valores de \(P+b\).

    Después de despejar ​​​​​\(P\), podemos reemplazarlo por \(2ax\). Finalmente, despejamos \(x\).

\(\displaystyle \begin {align} P+b &= \pm \sqrt {b^2-4ac} \\ \\ P &= \text-b \pm \sqrt {b^2-4ac}\\ \\2ax &= \text-b \pm \sqrt {b^2-4ac}\end{align}\)

  • ¡La solución está dada por la fórmula cuadrática!

\(\displaystyle \begin {align}\quad x &= \dfrac{\text-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}\end{align}\)

Entradas del glosario

  • fórmula cuadrática

    La fórmula \(x = {\text-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\) que nos da las soluciones de la ecuación cuadrática \(ax^2 + bx + c = 0\), donde \(a\) no es igual a 0.