Lección 20

Números como -1.7, $\sqrt{16}$ y $\frac53$ se conocen como números racionales.

Números como $\sqrt{12} \text{ y } \sqrt{\frac59}$ se conocen como números irracionales.

Esta es una lista de números. Clasifícalos según sean racionales o irracionales.

• 97
• -8.2
• $\sqrt5$
• $\text-\frac{3}{7}$
• $\sqrt{100}$
• $\sqrt{\frac94}$
• $\text-\sqrt{18}$

1. Usa tecnología para graficar cada una de estas ecuaciones cuadráticas. En cada caso, identifica los ceros de la función representada por cada gráfica y di si crees que estos pueden ser racionales o irracionales. Prepárate para explicar tu razonamiento.

   ecuación	ceros	¿racionales o irracionales?
   $y=x^2 - 8$
   $y=(x-5)^2 - 1$
   $y=(x - 7)^2 - 2$
   $y=\left( \frac{x}{4} \right)^2 -5$

2. Encuentra las soluciones exactas de cada ecuación (no las aproximadas) y muestra tu razonamiento. Después, di si piensas que cada solución es racional o irracional. Prepárate para explicar tu razonamiento.
   1. $x^2 - 8 = 0$
   2. $(x - 5)^2 = 1$
   3. $(x - 7)^2 = 2$
   4. $\left( \frac{x}{4} \right)^2 -5=0$

Esta es una lista de números:

• $\displaystyle 2$
• $\displaystyle 3$
• $\displaystyle \frac13$
• $\displaystyle 0$
• $\displaystyle \sqrt2$
• $\displaystyle \sqrt3$
• $\displaystyle \text-\sqrt3$
• $\displaystyle \frac{1}{\sqrt3}$

Estas son algunas afirmaciones acerca de las sumas y los productos de distintos tipos de números. Decide si cada afirmación siempre es verdadera, si es verdadera solo para algunos números pero no para otros o si nunca es verdadera.

1. Sumas:

   1. La suma de dos números racionales es racional.
   2. La suma de un número racional y un número irracional es irracional.
   3. La suma de dos números irracionales es irracional.

2. Productos:

   1. El producto de dos números racionales es racional.
   2. El producto de un número racional y un número irracional es irracional.
   3. El producto de dos números irracionales es irracional.

Experimenta con sumas y productos de dos números de la lista anterior para ayudarte a decidir.

Las soluciones de las ecuaciones cuadráticas pueden ser números racionales o números irracionales. Recordemos que:

• Los números racionales son todas las fracciones y sus opuestos. Algunos ejemplos son: 12, -3, $\frac53, \sqrt{25}$, -4.79 y $\sqrt\frac{9}{16}$ . ($\sqrt{25}$ es una fracción porque es igual a $\frac51$. El número -4.79 es el opuesto de 4.79, que es $\frac{479}{100}$).
• Cualquier número que no sea racional es irracional. Algunos ejemplos son: $\sqrt2, \pi, \text-\sqrt5$ y $\sqrt{\frac72}$. Cuando un número irracional se escribe usando dígitos decimales, sus dígitos no terminan ni siguen un patrón que se repite a partir de cierto punto. Por esto, un número decimal solo puede dar el valor aproximado de un número irracional.

¿Cómo sabemos si las soluciones de una ecuación cuadrática son racionales o irracionales?

Si solucionamos una ecuación cuadrática $ax^2+bx+c=0$ graficando su función correspondiente ($y=ax^2+bx+c$), a veces podemos saberlo a partir de las coordenadas $x$ de las intersecciones con el eje $x$. Otras veces, no podemos estar seguros.

Solucionemos $x^2-\frac{49}{100}=0$ y $x^2-5=0$ graficando $y=x^2-\frac{49}{100}$ y $y=x^2-5$.

La gráfica de $y=x^2-\frac{49}{100}$ cruza el eje $x$ en -0.7 y 0.7. No hay dígitos después del 7, lo que nos dice que los valores de $x$ son exactamente $\text-\frac{7}{10}$ y $\frac{7}{10}$, que son números racionales.

Para comprobar que estos números son soluciones exactas de la ecuación, podemos ver si hacen que la ecuación original sea verdadera.

$(0.7)^2-\frac{49}{100}=0$ y $(\text-0.7)^2-\frac{49}{100}=0$, así que $\pm 0.7$ son soluciones exactas.

La gráfica de $y=x^2-5$, que se hizo con tecnología para graficar, parece cruzar el eje $x$ en -2.236 y en 2.236. No es claro si las coordenadas $x$ tienen solo tres dígitos decimales o si tienen más. Si estos dígitos terminan o si en algún momento forman un patrón que se repite, las soluciones serán racionales. Si no terminan o si nunca forman un patrón que se repite, las soluciones serán irracionales.

En todo caso, podemos reconocer que 2.236 no es una solución exacta de la ecuación. Cuando reemplazamos $x$ por 2.236 en la ecuación original, obtenemos $2.236^2-5$: podemos notar que este valor es cercano a 0 pero no exactamente igual a 0. Esto significa que las soluciones $\pm2.236$ no son exactas y que puede que las soluciones sean números irracionales.

Para saber con certeza si las soluciones son racionales o son irracionales, podemos solucionar las ecuaciones.

• Las soluciones de $x^2-\frac{49}{100}=0$ son $\pm 0.7$, que son racionales.
• Las soluciones de $x^2-5=0$ son $\pm \sqrt5$, que son irracionales. (2.236 es un valor aproximado de $\sqrt5$, pero no es igual a $\sqrt5$).

¿Qué ocurre con una solución como $\text-4 + \sqrt 6$, que es la suma de un número racional y un número irracional?, ¿o con una solución como $\frac15 \sqrt3$, que es el producto de un número racional y un número irracional? ¿Estas soluciones son números racionales o irracionales?

Investigaremos soluciones que son sumas o productos de distintos tipos de números en una próxima lección.