Lección 12

Completemos el cuadrado (parte 1)

  • Aprendamos un método nuevo para solucionar ecuaciones cuadráticas.

12.1: ¿Perfecto o imperfecto?

Selecciona todas las expresiones que son cuadrados perfectos. Explica cómo lo sabes.

  1. \((x+5)(5+x)\)
  2. \((x+5)(x-5)\)
  3. \((x-3)^2\)
  4. \(x-3^2\)
  5. \(x^2+8x+16\)
  6. \(x^2+10x+20\)

12.2: Construyamos cuadrados perfectos

Completa la tabla para que en cada fila haya expresiones equivalentes que sean cuadrados perfectos. 

forma estándar forma factorizada
1. \(x^2+6x+9\)
2. \(x^2-10x+25\)
3.                                   \((x-7)^2\)
4. \(x^2-20x+\underline{\hspace{0.5in}}\) \((x- \underline{\hspace{0.5in}})^2\)
5. \(x^2+16x+\underline{\hspace{0.5in}}\) \((x+ \underline{\hspace{0.5in}})^2\)
6. \(x^2+7x+\underline{\hspace{0.5in}}\) \((x+ \underline{\hspace{0.5in}})^2\)
7. \(x^2+bx+\underline{\hspace{0.5in}}\) \((x+ \underline{\hspace{0.5in}})^2\)

12.3: Primeros pasos completando el cuadrado

Hay una técnica para solucionar ecuaciones cuadráticas llamada completar el cuadrado. Estos son dos ejemplos de cómo Diego y Mai completaron el cuadrado para solucionar la misma ecuación. 

Diego:

\(\displaystyle \begin {align} x^2+10x+9 &=0 \\x^2+10x &= \text-9 \\ x^2+10x+25 &=\text-9 + 25\\x^2+10x+25 &=16 \\ (x+5)^2 &=16\\ x+5=4 \quad & \text{o} \quad x+5=\text-4\\ x=\text-1 \quad & \text{o} \quad x=\text-9 \end{align}\)

Mai:

\(\begin {align} x^2 + 10x + 9 &= 0\\ x^2 + 10x + 9 + 16 &= 16\\ x^2+10x+25 &=16\\ (x+5)^2&=16\\ x+5=4 \quad & \text{o} \quad x+5=\text-4\\ x=\text-1 \quad & \text{o} \quad x=\text-9 \end {align}\)

Estudia los ejemplos. Después, intenta solucionar estas ecuaciones completando el cuadrado:

  1. \(x^2+6x+8=0\)
  2. \(x^2+12x=13\)
  3. \(0=x^2-10x+21\)
  4. \(x^2-2x+3=83\)
  5. \(x^2+40=14x\)


Este es un diagrama formado por un cuadrado y por dos rectángulos congruentes. Su área total es \(x^2+35x\) unidades cuadradas.

A square and two congruent rectangles. Square has side length x units.
  1. ¿Cuál es la longitud del lado que está sin marcar en cada uno de los dos rectángulos?
  2. Si agregamos segmentos para completar la figura y hacer que sea un cuadrado, ¿cuál será el área de la figura completa?
  3. ¿En qué se parece el proceso de encontrar el área de la figura completa al proceso de construir cuadrados perfectos a partir de expresiones como \(x^2 + bx\)?

Resumen

Convertir una expresión en un cuadrado perfecto puede ser una buena manera de solucionar una ecuación cuadrática. Supongamos que queremos solucionar \(x^2 - 14x +10 = \text-30\).

La expresión al lado izquierdo, \(x^2 - 14x +10\), no es un cuadrado perfecto, pero \(x^2 - 14x + 49\) es un cuadrado perfecto. Transformemos ese lado de la ecuación en un cuadrado perfecto, manteniendo la igualdad entre los dos lados.

  • Una manera útil de empezar es apartar la constante. Restemos 10 a cada lado:​​​​​​

\(\displaystyle \begin {align} x^2 - 14x +10 - 10 &= \text-30 - 10\\ x^2 - 14x &= \text-40 \end {align}\)

  • Después, sumemos 49 a cada lado:​​​​​​

\(\displaystyle \begin {align} x^2 - 14x +49 &= \text-40 +49\\ x^2 - 14x+49 &= 9 \end {align}\)

  • La expresión al lado izquierdo ahora es un cuadrado perfecto porque es equivalente a \((x-7)(x-7)\) o a \((x-7)^2\). Reescribamos la ecuación:

\(\displaystyle (x-7)^2=9\)

  • Si un número elevado al cuadrado es 9, el número tiene que ser 3 o -3. Para terminar:​​​​​​

\(\displaystyle \begin {align} x-7=3 \quad & \text{o} \quad x-7=\text-3\\ x=10 \quad & \text{o} \quad x=4 \end{align}\)

Este método de solución de ecuaciones cuadráticas se llama completar el cuadrado. En general, los cuadrados perfectos escritos en forma estándar se ven así: \(x^2 + bx + \left(\frac{b}{2} \right)^2\). Por esto, para completar el cuadrado, se toma la mitad del coeficiente del término lineal y se eleva al cuadrado.

En el ejemplo, la mitad de -14 es -7 y \((\text-7)^2\) es 49. Queríamos hacer que el lado izquierdo fuera \(x^2 - 14x + 49.\) Para que la ecuación siga siendo verdadera y se mantenga la igualdad entre los dos lados de la ecuación, sumamos 49 a cada lado.

Entradas del glosario

  • completar el cuadrado

    Completar el cuadrado en una expresión cuadrática significa transformarla en una de la forma \(a(x+p)^2-q\), donde \(a\), \(p\) y \(q\) son constantes.

    Completar el cuadrado en una ecuación cuadrática significa transformarla en una de la forma \(a(x+p)^2=q\).

  • cuadrado perfecto
    Un cuadrado perfecto es una expresión que es igual a algo multiplicado por sí mismo. Con frecuencia nos interesan los casos en los que ese algo es un número racional o una expresión que tiene coeficientes racionales.
  • número racional

    Un número racional es una fracción o el opuesto de una fracción. Recuerda que una fracción es un punto en la recta numérica que se obtiene si dividimos el intervalo unitario en \(b\) partes iguales y encontramos el punto cuya distancia a 0 es \(a\) de estas partes. Siempre podemos escribir una fracción en la forma \(\frac{a}{b}\), donde \(a\) y \(b\) son números enteros y \(b\) no es igual a 0, pero hay otras maneras de escribir fracciones. Por ejemplo, 0.7 es una fracción, ya que es el punto en la recta numérica que se obtiene si dividimos el intervalo unitario en 10 partes iguales y encontramos el punto cuya distancia a 0 es igual a 7 de estas partes. El número 0.7 también lo podemos escribir como \(\frac{7}{10}\).

    Los números \(3\), \(\text-\frac34\) y \(6.7\) son todos números racionales. Los números \(\pi\) y \(\text-\sqrt{2}\) no son números racionales porque no se pueden escribir como fracciones ni como opuestos de fracciones.