Lección 23

Estas gráficas representan dos funciones, \(f\) y \(g\), definidas por:

\(f(x)=(x-4)^2+1\)

\(g(x)=\text-(x-12)^2+7\)

1. \(f(1)\) se puede expresar en palabras como “el valor de \(f\) cuando \(x\) es 1”. Encuentra o calcula:
   1. el valor de \(f\) cuando \(x\) es 1
   2. \(f(3)\)
   3. \(f(10)\)
2. Considera cada condición y trata de encontrar un valor de \(x\) que la satisfaga:
   1. \(f(x)\) es menor que 1
   2. \(f(x)\) es mayor que 10,000

3. \(g(9)\) se puede expresar en palabras como “el valor de \(g\) cuando \(x\) es 9”. Encuentra o calcula:

   1. el valor de \(g\) cuando \(x\) es 9
   2. \(g(13)\)
   3. \(g(2)\)
4. Considera cada condición y trata de encontrar un valor de \(x\) que la satisfaga:
   1. \(f(x)\) es mayor que 7
   2. \(f(x)\) es menor que -10,000

1. La gráfica que representa \(p(x)=(x-8)^2+1\) tiene su vértice en \((8,1)\). Esta es una manera de mostrar, sin graficar, que \((8,1)\) corresponde al valor mínimo de \(p\).

   • Cuando \(x=8\), el valor de \((x-8)^2\) es 0 porque \((8-8)^2 = 0^2 = 0\).
   • Cuando se eleva cualquier número distinto de cero al cuadrado, siempre se obtiene un número estríctamente positivo. Entonces, si \(x\) es cualquier valor distinto de 8, \((x-8)\) será un número distinto de 0, por lo tanto, \((x-8)^2\) será estríctamente positivo.
   • Entonces, si \(x \neq 8\), el valor de \((x-8)^2+1\) siempre será mayor que \((8-8)^2+1\) (el valor cuando \(x=8\)). En otras palabras, \(p\) toma el valor mínimo cuando \(x=8\).

   Usa un razonamiento similar para explicar por qué el punto \((4,1)\) corresponde al valor máximo de \(q\), definida por \(q(x) = \text-2(x-4)^2+1\).

2. Estas son algunas funciones cuadráticas junto con las coordenadas del vértice de la gráfica de cada una. Decide si cada vértice corresponde al valor máximo o al valor mínimo de la función. Prepárate para explicar cómo lo sabes.

Una función \(A\), definida por \(p(600-75p)\), describe los ingresos que se recaudan por las ventas de boletos de la presentación A, un musical.

La gráfica representa una función \(B\) que modela los ingresos que se recaudan por la venta de boletos de la presentación B, una comedia shakesperiana.

 

En ambas funciones, \(p\) representa el precio de un boleto. Tanto los ingresos como los precios de los boletos están en dólares.

Sin graficar \(A\), compara el máximo posible de ingresos de la presentación A con el máximo posible de ingresos de la presentación B y determina cuál es mayor. Explica o muestra tu razonamiento.

Cualquier función cuadrática tiene un valor máximo o un valor mínimo. Para saber si tiene un máximo o si tiene un mínimo, podemos observar el vértice de su gráfica.

Estas gráficas representan las funciones \(f\) y \(g\), definidas por \(f(x)=\text-(x+5)^2+4\) y \(g(x)=x^2+6x-1\).

• El vértice de la gráfica de \(f\) es \((\text-5,4)\) y la gráfica en forma de U abre hacia abajo.
• Ningún otro punto de la gráfica de \(f\) está más arriba que \((\text-5,4)\). Entonces, podemos decir que el valor máximo de \(f\) es 4 y que este ocurre cuando \(x=\text-5\).

• El vértice de la gráfica de \(g\) está en \((\text-3, \text-10)\) y la gráfica en forma de U abre hacia arriba.
• Ningún otro punto de la gráfica de \(g\) está más abajo que \((\text-3,\text-10)\). Entonces, podemos decir que el valor mínimo de \(g\) es -10 y que este ocurre cuando \(x = \text-3\).

Sabemos que una expresión cuadrática escrita en forma canónica muestra claramente el vértice de la gráfica, así que no tenemos que graficar la expresión para encontrarlo. Pero ¿cómo sabemos, sin graficar, si el vértice corresponde al valor máximo o al valor mínimo de una función?

¡La forma canónica también nos da esa información!

Para saber si \((\text-3, \text-10)\) es un mínimo o un máximo de \(g\), podemos reescribir \(x^2+6x-1\) en forma canónica: \((x+3)^2-10\). Examinemos el término al cuadrado en \((x+3)^2-10\).

• Cuando \(x=\text-3\), \((x+3)\) es 0, así que \((x+3)^2\) también es 0.
• Cuando \(x\) no es -3, la expresión \((x+3)\) es un número distinto de cero. Entonces, \((x+3)^2\) será estríctamente positivo (pues si tomamos un número distinto de cero y lo elevamos al cuadrado, el resultado siempre es estríctamente positivo).
• Por lo anterior, \((x+3)^2-10\) toma el valor mínimo cuando \(x=\text-3\). Esto significa que con \(x=\text-3\) obtenemos el valor mínimo de \(g\).

Para saber si \((\text-5,4)\) es un mínimo o un máximo de \(f\), examinemos el término al cuadrado en \(\text-(x+5)^2+4\).

• Cuando \(x=\text-5\), \((x+5)\) es 0, así que \((x+5)^2\) también es 0.
• Cuando \(x\) no es -5, la expresión \((x+5)\) es un número distinto de cero, así que \((x+5)^2\) será estríctamente positivo. Sin embargo, la expresión \(\text-(x+5)^2\) tiene un coeficiente negativo de -1. Si multiplicamos \((x+5)^2\) (que es positivo cuando \(x \neq \text-5\)) por un número negativo, obtenemos un número estríctamente negativo.
• Entonces, si \(x \neq \text-5\), el valor de \(\text-(x+5)^2+4\) siempre será menor que \(\text-(\text-5+5)^2+4\) (el valor cuando \(x=\text-5\)). Esto significa que con \(x =\text-5\) obtenemos el valor máximo de \(f\).