Lección 7

1. El producto de los números enteros 2 y -6 es -12. Haz una lista de todas las demás parejas de números enteros cuyo producto es -12.
2. De las parejas de factores que encontraste, haz una lista de todas las parejas cuya suma es positiva. Explica por qué en todos esos casos la suma es positiva.
3. De las parejas de factores que encontraste, haz una lista de todas las parejas cuya suma es negativa. Explica por qué en todos esos casos la suma es negativa.

1. Estas expresiones se parecen a las que hemos visto.

   forma factorizada	forma estándar
   \((x+5)(x+6)\)
   	\(x^2+13x+30\)
   \((x-3)(x-6)\)
   	\(x^2-11x+18\)

   Las expresiones de cada fila deben ser equivalentes.

   Completa la tabla. Si tienes dificultades, puedes dibujar un diagrama.

2. Estas expresiones son diferentes, de cierta manera, a las que hemos visto.

   forma factorizada	forma estándar
   \((x+12)(x-3)\)
   	\(x^2-9x-36\)
   	\(x^2-35x-36\)
   	\(x^2+35x-36\)

   Las expresiones de cada fila deben ser equivalentes.

   Completa la tabla. Si tienes dificultades, puedes dibujar un diagrama.

3. Menciona en qué se diferencian las expresiones de la segunda tabla de las expresiones de la primera tabla (además del hecho de que en las expresiones se usan números distintos).

1. Considera la expresión \(x^2 + bx +100\). Completa la primera tabla con todas las parejas de factores de 100 que sumados den valores positivos de \(b\) y la segunda tabla con parejas de factores que sumados den valores negativos de \(b\)

   Para cada pareja, escribe el valor de \(b\) que se obtiene. (Usa todas las filas que necesites).

   valor positivo de \(b\)

   factor 1	factor 2	\(b\) (positivo)

   valor negativo de \(b\)

   factor 1	factor 2	\(b\) (negativo)

2. Considera la expresión \(x^2 + bx -100\).

   Completa la primera tabla con todas las parejas de factores de -100 que sumados den valores positivos de \(b\). Completa la segunda tabla con parejas de factores de -100 que sumados den valores negativos de \(b\) y la tercera tabla con los factores con los que \(b\) es igual a cero.

   Para cada pareja de factores, di el valor de \(b\) que se obtiene. (Usa tantas filas como parejas de factores haya. Puede que no necesites todas las filas).

   valor positivo de \(b\)

   factor 1	factor 2	\(b\) (positivo)

   valor negativo de \(b\)

   factor 1	factor 2	\(b\) (negativo)

   \(b\) es igual a cero

   factor 1	factor 2	\(b\) (cero)

3. Escribe cada expresión en forma factorizada:
   1. \(x^2 - 25x + 100\)
   2. \(x^2 + 15x - 100\)
   3. \(x^2 - 15x - 100\)
   4. \(x^2 + 99x - 100\)

Cuando reescribimos expresiones en forma factorizada, es útil recordar que:

• Si multiplicamos dos números positivos o dos números negativos, obtenemos un producto positivo.
• Si multiplicamos un número positivo y un número negativo, obtenemos un producto negativo.

Esto significa que si queremos encontrar dos factores cuyo producto sea 10, los factores deben ser ambos positivos o ambos negativos. Si queremos encontrar dos factores cuyo producto sea -10, uno de los factores debe ser positivo y el otro debe ser negativo.

Supongamos que queremos reescribir \(x^2 -8x + 7\) en forma factorizada. Recordemos que restar un número puede verse como sumar el opuesto de ese número, por lo que la expresión también se puede escribir como \(x^2 + \text-8x + 7\). Buscamos dos números que:

• Multiplicados den 7. Los candidatos son 7 y 1, y -7 y -1.
• Sumados den -8. De la lista de candidatos, solo -7 y -1 cumplen esta condición.

Entonces, la forma factorizada de \(x^2 -8x + 7\) es \((x + \text-7)(x + \text-1)\) o, escrita de otra manera, \((x-7)(x-1)\).

Para escribir \(x^2 + 6x - 7\) en forma factorizada, necesitamos dos números que:

• Multiplicados den -7. Los candidatos son 7 y -1, y -7 y 1.
• Sumados den 6. De la lista de candidatos, solo 7 y -1 suman 6.

Así, la forma factorizada de \(x^2 + 6x - 7\) es \((x+7)(x-1)\).