Lección 16

Cada expresión representa dos números. En cada caso, evalúa la expresión y encuentra esos dos números.

1. \(1 \pm \sqrt{49}\)
2. \(\displaystyle \frac{8 \pm 2}{5}\)
3. \(\pm \sqrt{(\text-5)^2-4 \boldcdot 4 \boldcdot 1}\)
4. \(\displaystyle \frac{\text-18 \pm \sqrt{36}}{2 \boldcdot 3}\)

Escoge una ecuación y soluciónala reescribiéndola en forma factorizada o completando el cuadrado. Prepárate para explicar por qué escogiste ese método.

1. \(x^2-2x-1.25=0\)
2. \(5x^2+9x-44=0\)
3. \(x^2+1.25x=0.375\)
4. \(4x^2-28x+29=0\)

Esta fórmula se llama la fórmula cuadrática.

\(\displaystyle x=\dfrac{\text- b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

La fórmula se puede usar para encontrar las soluciones de cualquier ecuación cuadrática de la forma \(ax^2+bx+c=0\), donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números y \(a\) no es 0.

Este ejemplo muestra cómo usar esta fórmula para solucionar \(x^2 - 8x + 15=0\). En esta ecuación, \(a=1\), \(b=\text-8\) y \(c=15\).

\(\displaystyle \begin {align} x &=\dfrac{\text- b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} &\qquad &\text{ecuación original}\\ x &=\dfrac{\text- (\text-8) \pm \sqrt{(\text-8)^2-4(1)(15)}}{2(1)} &\qquad &\text{reemplazamos }a, b \text{ y }c &\\ x &=\dfrac{8 \pm \sqrt{64-60}}{2} &\qquad &\text {evaluamos cada parte de la expresión} \\ x &=\dfrac{8 \pm \sqrt{4}}{2} \\x &=\dfrac{8 \pm 2}{2}\\ x &=\frac{10}{2} \qquad \text {o} \qquad x =\frac{6}{2} \\x &=\text{ }5 \qquad \text{ } \text {o} \qquad x =\text{ }3 \end{align}\)

Estas son algunas ecuaciones cuadráticas y sus soluciones. En cada caso, usa la fórmula cuadrática para mostrar que las soluciones dadas son correctas.

1. \(x^2 + 4x - 5 = 0\). Las soluciones son \(x=\text-5\) y \(x=1\).
2. \(x^2 + 7x + 12 = 0\). Las soluciones son \(x=\text-3\) y \(x=\text-4\).
3. \(x^2 + 10x + 18 = 0\). Las soluciones son \(x={\text-5} \pm \frac{\sqrt{28}}{2}\).
4. \(x^2 - 8x + 11 = 0\). Las soluciones son \(x=4 \pm\frac{ \sqrt{20}}{2}\).
5. \(9x^2-6x+1=0\). La solución es \(x=\frac13\).
6. \(6x^2+9x-15=0\). Las soluciones son \(x=\text-\frac52\) y \(x=1\).

Hemos aprendido dos métodos para solucionar ecuaciones algebraicamente:

• reescribir la ecuación como \(\text{forma factorizada}=0\) y usar la propiedad de producto cero
• completar el cuadrado

Algunas ecuaciones se pueden resolver rápidamente usando alguno de estos métodos, pero otras no. Este es un ejemplo: \(5x^2-3x-1=0\). La expresión que está al lado izquierdo no se puede reescribir en forma factorizada con coeficientes racionales. El coeficiente del término cuadrático no es un cuadrado perfecto y el coeficiente del término lineal es un número impar, por lo cual no es conveniente completar el cuadrado pues obtendríamos un cuadrado perfecto cuyos coeficientes son fracciones.

La fórmula cuadrática se puede usar para encontrar las soluciones de cualquier ecuación cuadrática, incluso de aquellas que son difíciles de solucionar usando otros métodos.

En la ecuación \(5x^2-3x-1=0\), vemos que \(a=5\), \(b=\text-3\) y \(c=\text-1\). ¡Resolvámosla!

\(\displaystyle \begin {align} x &=\dfrac{\text- b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} &\qquad &\text{la fórmula cuadrática}\\ x &=\dfrac{\text-(\text-3) \pm \sqrt{(\text-3)^2-4(5)(\text-1)}}{2(5)} &\qquad &\text{reemplazamos }a, b \text{ y }c &\\ x &=\dfrac{3 \pm \sqrt{9+20}}{10} &\qquad &\text {evaluamos cada parte de la expresión} \\ x &=\dfrac{3 \pm \sqrt{29}}{10}\end{align}\)

Usamos una calculadora para encontrar soluciones aproximadas: \(\frac{3 + \sqrt{29}}{10}\) es aproximadamente 0.84 y \(\frac{3 - \sqrt{29}}{10}\) es aproximadamente -0.24.

También podemos usar la fórmula cuadrática para solucionar ecuaciones más sencillas como \(x^2-9x+8=0\), pero esta puede no ser la manera más eficiente. Si la expresión cuadrática se puede reescribir fácilmente en forma factorizada o convertir en un cuadrado perfecto, entonces puede que estos métodos sean preferibles. Por ejemplo, al reescribir \(x^2-9x+8=0\) como \((x-1)(x-8)=0\), vemos de inmediato que las soluciones son 1 y 8.