Lección 4

En cada caso, encuentra los valores de las variables que hacen que la ecuación sea verdadera.

\(6 + 2a = 0\)

\(7b=0\)

\(7(c-5)=0\)

\(g \boldcdot h=0\)

Encuentra la solución o las soluciones de cada ecuación. Prepárate para explicar tu razonamiento.

1. \(x-3=0\)
2. \(x+11=0\)
3. \(2x+11=0\)
4. \(x(2x+11)=0\)
5. \((x-3)(x+11)=0\)
6. \((x-3)(2x+11)=0\)
7. \(x(x+3)(3x-4)=0\)

Hemos visto funciones cuadráticas que modelan la altura a la que está un proyectil como función del tiempo.

Estas son dos formas de definir la misma función que da el valor aproximado de la altura de un proyectil, en metros, \(t\) segundos después de su lanzamiento:

\(\displaystyle h(t)=\text-5t^2+27t+18 \qquad \qquad h(t)=(\text-5t-3)(t-6)\)

1. De estas formas de definir la función, ¿cuál nos permite usar la propiedad de producto cero para determinar el momento en el que el objeto está a 0 metros de altura?
2. Sin graficar, determina el tiempo \(t\) en el que el objeto está a 0 metros de altura. Muestra tu razonamiento.

La propiedad de producto cero dice que si el producto de dos números es 0, entonces al menos uno de los números debe ser 0. En otras palabras, si \(a\boldcdot b=0,\) entonces \(a=0\) o \(b=0\). Esta propiedad es útil cuando una ecuación que queremos resolver dice que el producto de dos factores es 0.

Supongamos que queremos resolver \(m(m+9)=0\). Esta ecuación dice que el producto de \(m\) y \((m+9)\) es 0. Para que esto sea verdadero, \(m=0\) o \(m+9=0\). Entonces 0 y -9 son las soluciones.

Esta es otra ecuación: \((u-2.345)(14u+2)=0\). La ecuación dice que el producto de \((u-2.345)\) y \((14u+2)\) es 0, así que podemos usar la propiedad de producto cero para ayudarnos a encontrar los valores de \(u\). Para que la ecuación sea verdadera, uno de los factores debe ser 0.

• Para que \(u-2.345=0\) sea verdadera, \(u\) tendría que ser 2.345.
• Para que \(14u+2=0\) o \(14u = \text-2\) sean verdaderas, \(u\) tendría que ser \(\text-\frac{2}{14}\) o \(\text-\frac17\).

Así, las soluciones son 2.345 y \(\text-\frac17\). En general, cuando una expresión cuadrática escrita en forma factorizada está a un lado de una ecuación y el otro lado es 0, podemos usar la propiedad de producto cero para encontrar sus soluciones.