Lección 18

Apliquemos la fórmula cuadrática (parte 2)

  • Usemos la fórmula cuadrática y solucionemos ecuaciones cuadráticas con cuidado.

Problema 1

Mai y Jada intentaron solucionar la ecuación \(2x^2 - 7x = 15\) usando la fórmula cuadrática, pero encontraron soluciones diferentes.

Mai escribió:
\(\displaystyle \begin{align} x &= \frac{\text- 7 \pm \sqrt{7^2 - 4(2)(\text-15)}}{2(2)}\\ x &= \frac{\text- 7 \pm \sqrt{49 - (\text- 120)}}{4}\\ x &= \frac{\text- 7 \pm \sqrt{169}}{4}\\ x &= \frac{\text- 7 \pm 13}{4}\\ x &= \text- 5 \quad \text{ o } \quad x = \frac32\\ \end{align}\\\)

Jada escribió:

\(\displaystyle \begin{align} x &= \frac{\text- (\text- 7) \pm \sqrt{\text- 7^2 - 4(2)(\text-15)}}{2(2)}\\ x &= \frac{7 \pm \sqrt{\text- 49 - (\text- 120)}}{4}\\ x &= \frac{7 \pm \sqrt{71} }{4}\\ \end{align}\\\)

  1. Si esta ecuación se escribe en forma estándar, \(ax^2+bx+c=0\), ¿cuáles son los valores de \(a, b\) y \(c\)?
  2. ¿Estás de acuerdo con Mai o con Jada? Explica tu razonamiento.

Problema 2

La ecuación \(h(t)=\text-16t^2+80t+64\) representa la altura a la que está una papa, en pies, \(t\) segundos después de lanzarla usando un artefacto mecánico.

  1. Escribe una ecuación que nos permita determinar el tiempo en el que la papa cae al suelo.
  2. Soluciona la ecuación sin graficar. Muestra tu razonamiento.

Problema 3

Priya concluye que \(x=3\) y \(x=\text-1\) son soluciones de \(3x^2-6x-9=0\). ¿Tiene razón? Muestra cómo lo sabes. 

Problema 4

Según Lin, las expresiones \(25x^2 + 40x + 16\) y \(49x^2 -112x + 64\) son cuadrados perfectos porque tienen las mismas características que ella reconoció en otros cuadrados perfectos escritos en forma estándar:
  • El primer término es un cuadrado perfecto. El último término también es un cuadrado perfecto.
  • Si multiplicamos una de las raíces cuadradas del primer término por una de las raíces cuadradas del último término y después duplicamos el producto, el resultado es el término del medio.
  1. Muestra que cada expresión tiene las características que Lin describió.
  2. Escribe cada expresión en forma factorizada.
(de la Unidad 7, Lección 11.)

Problema 5

¿Cuáles son las soluciones de la ecuación \(2x^2-5x-1=0\)?

A:

 \(x = {\text-5\pm \sqrt{17} \over 4}\)

B:

\(x = {5 \pm \sqrt{17} \over 4}\)

C:

\(x = {\text-5 \pm \sqrt{33}\over {4}}\)

D:

\(x = {5 \pm \sqrt{33} \over 4}\)

(de la Unidad 7, Lección 16.)

Problema 6

Soluciona cada ecuación reescribiéndola en forma factorizada y usando la propiedad de producto cero, o completando el cuadrado. Después, usa la fórmula cuadrática para comprobar si tus soluciones son correctas.

  1. \(x^2 + 11x + 24 = 0\)
  2. \(4x^2 + 20x + 25 = 0\)
  3. \(x^2 + 8x = 5\)
(de la Unidad 7, Lección 16.)

Problema 7

Estas son las gráficas de tres ecuaciones.

Empareja cada gráfica con la ecuación que corresponde.

Graph of three exponential functions, xy-plane, origin O.
A:

\(y = 10 \left(\frac{2}{3}\right)^x\)

B:

\(y =10 \left(\frac{1}{4}\right)^x\)

C:

\(y = 10 \left(\frac{3}{5}\right)^x\)

1:

X

2:

Y

3:

Z

(de la Unidad 5, Lección 12.)

Problema 8

La función \(f\) está definida por \(f(x)=(x+1)(x+6)\).

  1. ¿Cuáles son las intersecciones de la gráfica de \(f\) con el eje \(x\)?
  2. Encuentra las coordenadas del vértice de la gráfica de \(f\). Muestra tu razonamiento.

  3. Dibuja una gráfica de \(f\).

(de la Unidad 6, Lección 11.)