Lección 10
Examinemos tasas de cambio
- Calculemos tasas de cambio promedio de funciones exponenciales.
Problema 1
Una tienda recibe 2,000 juegos de cartas coleccionables. El número de juegos de cartas que queda en la tienda es una función, \(d\), del número de días, \(t\), desde que se recibió el envío. Esta tabla muestra algunos valores de \(d\).
| \(t\) | \(d(t)\) |
|---|---|
| 0 | 2,000 |
| 5 | 1,283 |
| 10 | 823 |
| 15 | 528 |
| 20 | 338 |
Calcula la tasa de cambio promedio en estos intervalos:
- del día 0 al día 5
- del día 15 al día 20
Problema 2
Se realizó un estudio para analizar la población de ciervos de una zona. Llamemos \(f\) a la función exponencial que da la población de ciervos \(t\) años después del inicio del estudio.
Si \(f(t)=a \boldcdot b^t\) y la población está aumentando, selecciona todas las afirmaciones que deben ser verdaderas.
\(b>1\)
\(b<1\)
La tasa de cambio promedio entre el año 0 y el año 5 es menor que la tasa de cambio promedio entre el año 10 y el año 15.
La tasa de cambio promedio entre el año 0 y el año 5 es mayor que la tasa de cambio promedio entre el año 10 y el año 15.
\(a > 0\)
Problema 3
La función \(f\) modela la población, en miles, de una ciudad \(t\) años después de 1930. La tasa de cambio promedio de \(f\) entre \(t=0\) y \(t=70\) es aproximadamente 14 mil personas por año.
¿Es este valor una buena forma de describir el cambio de la población en ese periodo de tiempo? Explica o muestra tu razonamiento.
Problema 4
La función \(f\) da el número de ejemplares de un libro vendidos \(w\) semanas después de su publicación. La ecuación \(f(w) = 500 \boldcdot 2^w\) define esta función.
Selecciona todos los dominios para los cuales la tasa de cambio promedio podría ser una buena medida del número de libros vendidos.
\(0 \leq w \leq 2\)
\(0 \leq w \leq 7\)
\(5 \leq w \leq 7\)
\(5 \leq w \leq 10\)
\(0 \leq w \leq 10\)
Problema 5
La gráfica muestra el tamaño de una población de bacterias que disminuye exponencialmente a lo largo del tiempo.
La ecuación \(p = 100,\!000,\!000 \boldcdot \left(\frac{2}{3}\right)^h\) da el tamaño de una segunda población de bacterias, donde \(h\) es el número de horas después de que la población era 100 millones.
¿Qué población de bacterias decae más rápido? Explica cómo lo sabes.
Problema 6
Requiere el uso de tecnología. Una población de polillas, \(p\), se modela con la ecuación \(p = 500,\!000 \boldcdot \left(\frac{1}{2}\right)^w\), donde \(w\) es el número de semanas después de que la población se midió por primera vez.
- ¿Cuál era la población de polillas cuando se midió por primera vez?
- ¿Cuál era la población de polillas 1 semana después?, ¿y 1.5 semanas después de que se midió por primera vez?
- Usa tecnología para graficar la población y usa la gráfica para estimar al cabo de cuantas semanas la población pasará a ser menor que 10,000.
Problema 7
Da un valor de \(r\) que indique que la recta de mejor ajuste tiene una pendiente positiva y modela bien los datos.
Problema 8
Hay una relación débil y positiva entre el tamaño de un distrito y el número de parques que hay en él.
Explica lo que significa tener una relación débil y positiva en este contexto.
Problema 9
Esta es una gráfica de la distancia de Han a su casa mientras conduce.
Identifica las intersecciones con los ejes y explica lo que significan en términos de la distancia de Han a su casa.
