Lesson 20
Interpretemos residuos en situaciones de división
Warm-up: Conteo grupal: 2, 3 y 5 (10 minutes)
Narrative
The purpose of this warm-up is to elicit strategies and understandings students have for identifying multiples of small numbers, primarily by looking for and making use of structure (MP7). These understandings will be helpful later when students solve division problems that involve distinguishing quotients with and without a remainder.
Launch
- “Cuenten de 2 en 2, empezando en 90” // “Count by 2 starting at 90.”
- Record as students count.
- Stop counting and recording at 112.
Activity
- “¿Qué patrones observan en cada uno de los conteos que anotamos?” // “What patterns do you notice in each of the recorded counts?”
- Repeat with 3 and 5.
- “Cuenten de 3 en 3, empezando en 90” // “Count by 3 starting at 90.” Stop counting and recording at 114.
- “Cuenten de 5 en 5, empezando en 90” // “Count by 5 starting at 90.” Stop counting and recording at 115.
Student Response
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Activity Synthesis
- “¿105 es un múltiplo de 2?, ¿de 3?, ¿de 5? ¿Cómo lo saben?” // “Is 105 a multiple of 2, 3, or 5? How do you know?”
- “¿105 es un múltiplo de 15?” // “Is 105 a multiple of 15?”
Activity 1: Muffins y asientos (15 minutes)
Narrative
This activity encourages students to interpret the quantities in situations, represent them mathematically, use their representations to find solutions, and then interpret their solutions in context (MP2). The dividends here are limited to three-digit numbers.
Supports accessibility for: Conceptual Processing, Memory
Launch
- Groups of 2
Activity
- 5–6 minutes: independent work time
- 2–3 minutes: partner discussion
- Monitor for students who appropriately interpret remainders based on the situation.
Student Facing
-
Dos pasteleros de una pastelería prepararon 378 muffins. Los muffins se ponen en cajas de 4.
- El primer pastelero dice que van a necesitar 94 cajas para poner todos los muffins.
- El segundo pastelero dice que se necesitan 95 cajas.
-
En un auditorio hay 258 asientos. Los asientos están organizados en filas de 9, pero hay una fila más corta que tiene menos de 9 asientos.
¿Cuántas filas de 9 asientos hay? ¿Cuántos asientos hay en la fila más corta?
Student Response
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Activity Synthesis
- Invite students to share their responses and reasoning.
- For problem 1, highlight that both 94 and 95 boxes are plausible if they could be defended and the assumptions are made clear. (For example, students might say that the bakers could have two leftover muffins rather than trying to sell them in boxes, so 94 boxes are enough.)
- “¿Qué ecuación podemos escribir para describir la relación que hay entre el número de muffins y el número de cajas llenas?” // “What equation could we write to describe the relationship between the number of muffins and the number of full boxes?” (One possible equation: \( (94 \times 4) + 2 = 378\).)
- For the last problem, ask: “¿Qué ecuación podemos escribir para describir la relación que hay entre el número de filas y el número de asientos?” // “What equation could we write to describe the relationship between the number of rows and the number of seats?” (One possible equation: \((28 \times9) + 6 = 258\).)
Activity 2: Ahorremos para construir un jardín (20 minutes)
Narrative
In this activity, students continue to solve contextual problems that involve division (MP2). Here, the dividends extend to four-digit numbers and the problems demand a greater lift.
In the second half of the activity, students are asked to reason in the opposite direction: given a division expression, they are to invent a situation that it can represent and interpret the value of the expression in context.
If time permits, consider asking students to create a visual display of the situation they invent for problem 2, so they can present the situation and their reasoning to the class.
Advances: Speaking, Conversing, Representing
Launch
- Groups of 2
Activity
- 3–4 minutes: independent work time on the first problem
- Invite students to share responses and reasoning.
- “¿Qué ecuación o ecuaciones podemos escribir para representar la relación que hay entre la cantidad ahorrada cada mes, los ahorros, el número de meses de ahorro y la cantidad de dinero necesaria para el jardín?” // “What equation(s) can we write to represent the relationship between the amount saved each month, the savings, the number of months of saving, and the amount needed for the garden?” (One possible equation: \((8 \times 158) + 6 = 1,\!270)\)
- 5–7 minutes: independent work time on problem 2
Student Facing
-
En una escuela necesitan \$1,270 para construir un jardín. Después de ahorrar la misma cantidad de dinero cada mes durante 8 meses, aún faltan \$6.
¿Cuánto dinero ahorraron cada mes? Explica o muestra tu razonamiento.
-
Escoge una de las siguientes expresiones de división.
\(711 \div 3\)
\(3,\!128 \div 8\)
- Escribe una situación para representar la expresión.
- Encuentra el valor del cociente. Muestra tu razonamiento.
- ¿Qué representa el valor del cociente en tu situación?
Student Response
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Activity Synthesis
- Students find a partner who chose a different expression and take turns presenting their work. The person listening should consider whether the response makes sense and check if the quotient is correct.
- If time permits, students share with a different student or partnership.
Lesson Synthesis
Lesson Synthesis
- “¿Usaron productos parciales?” // use partial products?
- “¿Usaron cocientes parciales?” // use partial quotients?
- “¿Dibujaron diagramas?” // draw diagrams?
- “¿Dividieron de acuerdo al valor posicional (unidades de mil, centenas, decenas y unidades)?” // divide by place value (thousands, hundreds, tens, and ones)?
- “¿Escribieron una serie de ecuaciones?” // write a series of equations?
- “¿Estimaron primero?” // estimate first?”
Cool-down: ¿Error de conteo? (5 minutes)
Cool-Down
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Student Section Summary
Student Facing
En esta sección, resolvimos distintos problemas en los que tuvimos que dividir números enteros.
Recordamos dos formas de pensar en la división. Por ejemplo, supongamos que \(274 \div 8\) representa una situación en la que se ponen 274 marcadores en grupos iguales. El valor de \(274 \div 8\) nos puede decir:
- cuántos marcadores hay en cada grupo si hay 8 grupos o
- cuántos grupos se pueden formar si hay 8 marcadores en cada grupo.
Aprendimos que el 274 de la expresión \(274 \div 8\) se llama el dividendo. Después, exploramos varias formas de encontrar el valor de un cociente (es decir, el resultado de la división). Para calcular \(274 \div 8\), podemos:
- Dividir de acuerdo al valor posicional y pensar en poner 2 centenas, 7 decenas y 4 unidades en 8 grupos iguales.
- Dividir por partes y encontrar cocientes parciales. Por ejemplo, podemos encontrar primero \(160 \div 8\) (que es 20), después \(80 \div 8\) (que es 10) y después \(32 \div 8\) (que es 4).
-
Pensar en términos de la multiplicación. Por ejemplo, podemos pensar en \(8 \times 20 = 160\), \(8 \times 10=80\) y así sucesivamente.
Esta es una forma de escribir la división usando cocientes parciales:
A veces, al dividir, sobra algo que no podemos poner en grupos iguales ni alcanza a formar un grupo nuevo. A lo que sobra lo llamamos un residuo. El resultado de dividir 274 entre 8 es 34, con un residuo de 2.