Lección 14

1. Encuentra la medida del ángulo \(JGH\). Explica o muestra tu razonamiento.

   

   

    

2. Encuentra y etiqueta un segundo ángulo de \(30^\circ\) grados en el diagrama. Encuentra y etiqueta un nuevo ángulo congruente al ángulo \(JGH\).

Las rectas \(AC\) y \(DF\) son paralelas y son cortadas por la transversal \(HJ\). 

1. Con tu compañero, encuentren las siete medidas desconocidas de los ángulos en el diagrama. Expliquen su razonamiento.

2. ¿Qué observan sobre los ángulos con vértice \(B\) y los ángulos con vértice \(E\)?

3. Usando lo que observaron, determinen las medidas de los cuatro ángulos en el punto \(B\) del segundo diagrama. Las rectas \(AC\) y \(DF\) son paralelas.

   

   

4. El siguiente diagrama se parece al primero, pero las rectas forman ángulos ligeramente diferentes. Trabaja con tu compañero para determinar los seis ángulos desconocidos con vértices en los puntos \(B\) y \(E\).

   

   

5. ¿Qué observan sobre los ángulos en este diagrama en comparación con los del diagrama anterior? ¿En qué se diferencian los dos diagramas? ¿En qué se parecen?

1. Las rectas \(\ell\) y \(k\) son paralelas y \(t\) es una transversal. El punto \(M\) es el punto medio del segmento \(PQ\).

   

   

   Encuentra una transformación rígida que muestre que los ángulos \(MPA\) y \(MQB\) son congruentes.
2. En este diagrama, las rectas \(\ell\) y \(k\) ya no son paralelas, pero \(M\) aún es el punto medio del segmento \(PQ\).

   

   

   ¿Tu argumento en el problema anterior aplica para esta situación? Explica.

Cuando dos rectas se intersecan, los ángulos opuestos son iguales y los ángulos adyacentes son suplementarios, es decir, sus medidas suman 180\(^\circ\). Por ejemplo, en esta figura los ángulos 1 y 3 son iguales, los ángulos 2 y 4 son iguales, los ángulos 1 y 4 son suplementarios, y los ángulos 2 y 3 son suplementarios.

Cuando dos rectas paralelas se cortan por otra recta, llamada una transversal, se crean dos parejas de ángulos alternos internos ("interno" significa al interior, o entre, las dos rectas paralelas). Por ejemplo, en esta figura los ángulos 3 y 5 son ángulos alternos internos, y los ángulos 4 y 6 también son ángulos alternos internos.

Los ángulos alternos internos son iguales porque una rotación de \(180^\circ\) alrededor del punto medio del segmento que une sus vértices lleva cada ángulo al otro. Imagina un punto \(M\) en la mitad entre las dos intersecciones, ¿puedes ver cómo una rotación de \(180^\circ\) alrededor de \(M\) lleva el ángulo 3 al ángulo 5?

Al usar lo que sabemos sobre ángulos opuestos, ángulos adyacentes y ángulos alternos internos, podemos encontrar las medidas de cualquiera de los ochos ángulos creados por una transversal, si conocemos solo uno de ellos. Por ejemplo, partiendo del hecho de que el ángulo 1 es \(70^\circ\), usamos los ángulos opuestos para ver que el ángulo 3 es \(70^\circ\); luego, usamos ángulos alternos internos para ver que el ángulo 5 es \(70^\circ\); después, usamos el hecho de que el ángulo 5 es suplementario al ángulo 8 para ver que el ángulo 8 es \(110^\circ\) porque \(180 -70 = 110\). Resulta que realmente solo hay dos medidas diferentes. En este ejemplo, los ángulos 1, 3, 5 y 7 miden \(70^\circ\), y los ángulos 2, 4, 6 y 8 miden \(110^\circ\).