Lección 10
Composición de figuras
Razonemos sobre transformaciones rígidas para encontrar medidas sin necesidad de medir.
10.1: Ángulos de un triángulo isósceles
Este es un triángulo.
- Refleja el triángulo \(ABC\) con respecto a la recta \(AB\). Etiqueta la imagen de \(C\) con \(C'\).
- Rota el triángulo \(ABC’\) alrededor de \(A\) para que \(C'\) coincida con \(B\).
-
¿Qué puedes decir de las medidas de los ángulos \(B\) y \(C\)?
![A triangle labeled A B C with horizontal side B C labeled 2 and sides A B and A C are each labeled 3.](https://staging-cms-im.s3.amazonaws.com/MBYRQJBuN73efmF61oENfhzd?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%228-8.1.Cycle4.2.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%278-8.1.Cycle4.2.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF37H2AMFB%2F20240722%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240722T120050Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=884798c1bce53bc86f6926233dfaaf00e69233c5b2f077c33a267116a25f376e)
10.2: Triángulo mas uno
Este es el triángulo \(ABC\).
-
Dibuja el punto medio \(M\) del lado \(AC\).
-
Rota el triángulo \(ABC\) 180 grados usando el centro \(M\) para formar el triángulo \(CDA\). Dibuja y etiqueta este triángulo.
-
¿Qué tipo de cuadrilátero es \(ABCD\)? Explica cómo lo sabes.
![Triangle A B C is scalene with side B C as base and longest side, and side AB as the shortest side.](https://staging-cms-im.s3.amazonaws.com/Pbqh6PnoZaR3Ebv4K9wpWWWV?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%228-8.1.B2.Image.04.1.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%278-8.1.B2.Image.04.1.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF37H2AMFB%2F20240722%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240722T120050Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=7f1ce5595fe4ea1f16d39e0268a7cbe413e22044d43cf22b45d1804ae409266e)
En la actividad formamos un paralelogramo tomando un triángulo y su imagen al realizar una rotación de 180 grados alrededor del punto medio de un lado. Este diagrama te ayuda a justificar una fórmula muy conocida del área de un triángulo. ¿Cuál es la fórmula y cómo ayuda la figura a justificarla?
10.3: Triángulo mas dos
El dibujo muestra 3 triángulos. El triángulo 2 y el triángulo 3 son imágenes del triángulo 1 al realizan ciertas transformaciones rígidas.
![Rotations of triangle ABC.](https://staging-cms-im.s3.amazonaws.com/4BLQCe7zVMG4vecZWiGozD5v?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%228-8.1.B2.Image.07.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%278-8.1.B2.Image.07.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF37H2AMFB%2F20240722%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240722T120050Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=7b4feecdc518adc5f8fd432edca4e60fceb0095a6e39c9dd3cb86104aa4ad100)
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Describe una transformación rígida que lleve el triángulo 1 al triángulo 2. ¿Qué puntos del triángulo 2 corresponden a los puntos \(A\), \(B\) y \(C\) en el triángulo original?
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Describe una transformación rígida que lleve el triángulo 1 al triángulo 3. ¿Qué puntos del triángulo 3 corresponden a los puntos \(A\), \(B\) y \(C\) en el triángulo original?
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Encuentra dos pares de segmentos de recta en el diagrama que tengan la misma longitud y explica cómo sabes que tienen la misma longitud.
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Encuentra dos pares de ángulos en el diagrama que tengan la misma medida y explica cómo sabes que tienen la misma medida.
10.4: El triángulo ONE y más
Este es el triángulo isósceles \(ONE\). Sus lados \(ON\) y \(OE\) tienen la misma longitud. El ángulo \(O\) mide 30 grados. La longitud de \(ON\) es 5 unidades.
![Triangle O N E. Angle N O E is labeled 30 degrees. Side O N is labeled 5.](https://staging-cms-im.s3.amazonaws.com/NbHs8CsUDBDqXFkywrBEb9sf?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%228.1.B2.Image.08%20%25281%2529.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%278.1.B2.Image.08%2520%25281%2529.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF37H2AMFB%2F20240722%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240722T120050Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=f2c1b3bf1390b15f8ab9eb9aa37db02f30ee61c327d1c051aab105029248459b)
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Refleja el triángulo \(ONE\) con respecto al segmento \(ON\). Etiqueta el nuevo vértice con \(M\).
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¿Cuál es la medida del ángulo \(MON\)?
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¿Cuál es la medida del ángulo \(MOE\)?
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Refleja el triángulo \(MON\) con respecto al segmento \(OM\). Etiqueta el punto que corresponde a \(N\) con \(T\).
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¿Qué tan largo es \(\overline{OT}\)? ¿Cómo lo sabes?
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¿Cuál es la medida del ángulo \(TOE\)?
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Si continúas reflejando cada nuevo triángulo de esta manera para hacer un patrón, ¿cómo se verá el patrón?
Resumen
Antes, aprendimos que si aplicamos una secuencia de transformaciones rígidas a una figura, entonces los lados correspondientes tienen la misma longitud y los ángulos correspondientes tienen la misma medida. ¡Estos hechos nos permiten averiguar cosas sin tener que medir!
Por ejemplo, este es el triángulo \(ABC\).
![A triangle A, B, C where the interior angle at A has measure 36 degrees.](https://staging-cms-im.s3.amazonaws.com/2m4fHL7zNMutmtsJLaEHzsQm?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%228-8.1.B2.Image.17.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%278-8.1.B2.Image.17.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF37H2AMFB%2F20240722%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240722T120050Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=5ec982611ef71472811c6bede77c385870e38711525b198cb1403a57153b09d3)
Podemos reflejar el triángulo \(ABC\) con respecto al lado \(AC\) para formar un nuevo triángulo:
![Triangle A, B, C, with angle with measure 36 degrees at A. It has been reflected on the side A, C.](https://staging-cms-im.s3.amazonaws.com/z5WhDuqtjphhQb1n8Kok8qBj?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%228-8.1.B2.Image.18.1.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%278-8.1.B2.Image.18.1.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF37H2AMFB%2F20240722%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240722T120050Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=3a16a774b94fb179e30d351b679c4037e4b36641ca8455a8b1ba31d031e7ff8d)
Como los puntos \(A\) y \(C\) están sobre la recta de reflexión, no se mueven. Así que la imagen del triángulo \(ABC\) es \(AB'C\). Además sabemos que:
- El ángulo \(B'AC\) mide \(36^\circ\) porque es la imagen del ángulo \(BAC\).
- El segmento \(AB'\) tiene la misma longitud que el segmento \(AB\).
Cuando construimos figuras usando copias de una figura que están hechas a partir de transformaciones rígidas, sabemos que las medidas de las imágenes de los segmentos y los ángulos serán las mismas medidas de los segmentos y ángulos originales.
Entradas del glosario
- ángulos opuestos
Los ángulos opuestos se forman cuando dos rectas se intersecan. Comparten un vértice y están uno frente al otro. Su medida es la misma.
Por ejemplo, los ángulos \(AEC\) y \(DEB\) son ángulos opuestos. Si el ángulo \(AEC\) mide \(120^\circ\), entonces el ángulo \(DEB\) debe medir también \(120^\circ\).
Los ángulos \(AED\) y \(BEC\) forman otro par de ángulos opuestos.
- correspondiente
Si una parte de una figura y una parte de una copia de la figura están en la misma posición en relación a las demás partes de cada figura, decimos que las partes son correspondientes. Estas partes pueden ser puntos, segmentos, ángulos o distancias.
Por ejemplo, el punto en \(B\) el primer triángulo corresponde al punto \(E\) en el segundo triángulo.
El segmento \(AC\) corresponde al segmento \(DF\).
- transformación rígida
Una transformación rígida es una movida del plano que no cambia ninguna de las medidas de una figura. Traslaciones, rotaciones y reflexiones (o cualquier secuencia de ellas) son transformaciones rígidas.