Lección 10

Composición de figuras

Razonemos sobre transformaciones rígidas para encontrar medidas sin necesidad de medir. 

10.1: Ángulos de un triángulo isósceles

Este es un triángulo.

  1. Refleja el triángulo \(ABC\) con respecto a la recta \(AB\). Etiqueta la imagen de \(C\) con \(C'\).
  2. Rota el triángulo \(ABC’\) alrededor de \(A\) para que \(C'\) coincida con \(B\).

  3. ¿Qué puedes decir de las medidas de los ángulos \(B\) y \(C\)?

A triangle labeled A B C with horizontal side B C labeled 2 and sides A B and A C are each labeled 3.

10.2: Triángulo mas uno

Este es el triángulo \(ABC\).

  1. Dibuja el punto medio \(M\) del lado \(AC\).

  2. Rota el triángulo \(ABC\) 180 grados usando el centro \(M\) para formar el triángulo \(CDA\). Dibuja y etiqueta este triángulo.

  3. ¿Qué tipo de cuadrilátero es \(ABCD\)? Explica cómo lo sabes.
Triangle A B C is scalene with side B C as base and longest side, and side AB as the shortest side.


En la actividad formamos un paralelogramo tomando un triángulo y su imagen al realizar una rotación de 180 grados alrededor del punto medio de un lado. Este diagrama te ayuda a justificar una fórmula muy conocida del área de un triángulo. ¿Cuál es la fórmula y cómo ayuda la figura a justificarla?

10.3: Triángulo mas dos

El dibujo muestra 3 triángulos. El triángulo 2 y el triángulo 3 son imágenes del triángulo 1 al realizan ciertas transformaciones rígidas.

Rotations of triangle ABC.

  1. Describe una transformación rígida que lleve el triángulo 1 al triángulo 2. ¿Qué puntos del triángulo 2 corresponden a los puntos \(A\), \(B\) y \(C\) en el triángulo original?

  2. Describe una transformación rígida que lleve el triángulo 1 al triángulo 3. ¿Qué puntos del triángulo 3 corresponden a los puntos \(A\), \(B\) y \(C\) en el triángulo original?

  3. Encuentra dos pares de segmentos de recta en el diagrama que tengan la misma longitud y explica cómo sabes que tienen la misma longitud.

  4. Encuentra dos pares de ángulos en el diagrama que tengan la misma medida y explica cómo sabes que tienen la misma medida.

10.4: El triángulo ONE y más

Este es el triángulo isósceles \(ONE\). Sus lados \(ON\) y \(OE\) tienen la misma longitud. El ángulo \(O\) mide 30 grados. La longitud de \(ON\) es 5 unidades.

Triangle O N E. Angle N O E is labeled 30 degrees. Side O N is labeled 5.

  1. Refleja el triángulo \(ONE\) con respecto al segmento \(ON\). Etiqueta el nuevo vértice con \(M\).

  2. ¿Cuál es la medida del ángulo \(MON\)?

  3. ¿Cuál es la medida del ángulo \(MOE\)?

  4. Refleja el triángulo \(MON\) con respecto al segmento \(OM\). Etiqueta el punto que corresponde a \(N\) con \(T\).

  5. ¿Qué tan largo es \(\overline{OT}\)? ¿Cómo lo sabes?

  6. ¿Cuál es la medida del ángulo \(TOE\)?

  7. Si continúas reflejando cada nuevo triángulo de esta manera para hacer un patrón, ¿cómo se verá el patrón? 

Resumen

Antes, aprendimos que si aplicamos una secuencia de transformaciones rígidas a una figura, entonces los lados correspondientes tienen la misma longitud y los ángulos correspondientes tienen la misma medida. ¡Estos hechos nos permiten averiguar cosas sin tener que medir!

Por ejemplo, este es el triángulo \(ABC\).

A triangle A, B, C where the interior angle at A has measure 36 degrees.

Podemos reflejar el triángulo \(ABC\) con respecto al lado \(AC\) para formar un nuevo triángulo:

Triangle A, B, C, with angle with measure 36 degrees at A. It has been reflected on the side A, C.

Como los puntos \(A\) y \(C\) están sobre la recta de reflexión, no se mueven. Así que la imagen del triángulo \(ABC\) es \(AB'C\). Además sabemos que:

  • El ángulo \(B'AC\) mide \(36^\circ\) porque es la imagen del ángulo \(BAC\).
  • El segmento \(AB'\) tiene la misma longitud que el segmento \(AB\).

Cuando construimos figuras usando copias de una figura que están hechas a partir de transformaciones rígidas, sabemos que las medidas de las imágenes de los segmentos y los ángulos serán las mismas medidas de los segmentos y ángulos originales.

Entradas del glosario

  • ángulos opuestos

    Los ángulos opuestos se forman cuando dos rectas se intersecan. Comparten un vértice y están uno frente al otro. Su medida es la misma. 

    Por ejemplo, los ángulos \(AEC\) y \(DEB\) son ángulos opuestos. Si el ángulo \(AEC\) mide \(120^\circ\), entonces el ángulo \(DEB\) debe medir también \(120^\circ\).

    Los ángulos \(AED\) y \(BEC\) forman otro par de ángulos opuestos.

    a pair of intersecting lines that create vertical angles
  • correspondiente

    Si una parte de una figura y una parte de una copia de la figura están en la misma posición en relación a las demás partes de cada figura, decimos que las partes son correspondientes. Estas partes pueden ser puntos, segmentos, ángulos o distancias.

    Por ejemplo, el punto en \(B\) el primer triángulo corresponde al punto \(E\) en el segundo triángulo.

    El segmento \(AC\) corresponde al segmento \(DF\).

    2 triangles with corresponding parts
  • transformación rígida

    Una transformación rígida es una movida del plano que no cambia ninguna de las medidas de una figura. Traslaciones, rotaciones y reflexiones (o cualquier secuencia de ellas) son transformaciones rígidas.