Lección 16

¿Cada ecuación es verdadera o falsa?

$62-28= 60-30$

$3\boldcdot \text{-}8= (2\boldcdot \text{-}8) - 8$

Este es el triángulo $ABC$.

1. Rota el triángulo $ABC$ $180^\circ$ alrededor del punto medio del lado $AC$. Marca el nuevo vértice $D$.

2. Rota el triángulo $ABC$ $180^\circ$ alrededor del punto medio del lado $AB$. Marca el nuevo vértice $E$.

3. Observa los ángulos $EAB$, $BAC$ y $CAD$. Sin medir, escribe cuál crees que es la suma de las medidas de estos ángulos. Explica o muestra tu razonamiento.

4. ¿La medida del ángulo $EAB$ es igual a la medida de algún ángulo del triángulo $ABC$? Si es así, ¿a cuál? Si no, ¿cómo lo sabes?

5. ¿La medida del ángulo $CAD$ es igual a la medida de algún ángulo del triángulo $ABC$? Si es así, ¿a cuál? Si no, ¿cómo lo sabes?

6. ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos $ABC$, $BAC$ y $ACB$? 

Este es $\triangle ABC$. El segmento de recta $DE$ es paralelo al segmento de recta $AC$.

1. ¿A qué equivale $m{\angle DBA} + b + m{\angle CBE}$? Explica cómo lo sabes.

2. Utiliza tu respuesta para explicar por qué $a + b + c = 180$.

3. Explica por qué tu argumento funcionará para cualquier triángulo: es decir, explica por qué la suma de las medidas de los ángulos en cualquier triángulo es $180^\circ$.

Este diagrama muestra un cuadrado $BDFH$ que se ha formado por las imágenes del triángulo $ABC$ por medio de transformaciones rígidas.

Al utilizar rectas paralelas y rotaciones podemos comprender por qué los ángulos de un triángulo siempre suman $180^\circ$. Este es el triángulo $ABC$. La recta $DE$ es paralela a $AC$ y contiene a $B$.

Una rotación de 180 grados del triángulo $ABC$ alrededor del punto medio de $AB$ intercambia los ángulos $A$ y $DBA$, por lo que tienen la misma medida: en la imagen, estos ángulos están marcados como $x^\circ$. Una rotación de 180 grados del triángulo $ABC$ alrededor del punto medio de $BC$ intercambia los ángulos $C$ y $CBE$, por lo que tienen la misma medida: en la imagen, estos ángulos están marcados como $z^\circ$. Además, $DBE$ es una línea recta porque las rotaciones de 180 grados llevan rectas a rectas paralelas. Entonces los tres ángulos con vértice $B$ forman una recta y suman $180^\circ$ ($x + y + z = 180$). Pero $x, y, z$ son las medidas de los tres ángulos de $\triangle ABC$, así que ¡la suma de los ángulos de un triángulo siempre es $180^\circ$!