Lección 3

Razonemos sobre ecuaciones usando diagramas de cinta

Veamos cómo las ecuaciones pueden describir diagramas de cinta.

3.1: Encontremos expresiones equivalentes

Selecciona todas las expresiones que son equivalentes a \(7(2-3n)\). Explica cómo sabes que cada expresión que seleccionaste es equivalente.

  1. \(9-10n\)
  2. \(14-3n\)
  3. \(14-21n\)
  4. \((2-3n) \boldcdot 7\)
  5. \(7 \boldcdot 2 \boldcdot (\text- 3n)\)

3.2: Emparejemos ecuaciones con diagramas de cinta

Five tape diagrams, A, B, C, D, E.

 

  1. Empareja cada ecuación con uno de los diagramas de cinta. Prepárate para explicar por qué la ecuación corresponde al diagrama.
  2. Clasifica las ecuaciones en categorías de tu elección. Explica el criterio para cada categoría.
  • \(2x+5=19\)
  • \(2+5x=19\)
  • \(2(x+5)=19\)
  • \(5(x+2)=19\)
  • \(19=5+2x\)
  • \((x+5) \boldcdot 2=19\)
  • \(19=(x+2) \boldcdot 5\)
  • \(19 \div 2 = x+5\)
  • \(19-2=5x\)

 

3.3: Dibujemos diagramas de cinta para representar ecuaciones

  • \(114 = 3x + 18\)
  • \(114 = 3(y + 18)\)

  1. Dibuja un diagrama de cinta que corresponda con cada ecuación. 

     

  2. Usa cualquier método para encontrar los valores de \(x\) y \(y\) que hagan verdaderas a las ecuaciones.


Para hacer un copo de nieve de Koch:

  • Empieza con un triángulo equilátero que tenga lados de longitud 1. Este es el paso 1. 
  • Remplaza el tercio de la mitad de cada segmento de recta con un pequeño triángulo equilátero, cuya base sea el tercio que se encuentra en la mitad del segmento. Este es el paso 2.
  • Haz lo mismo con cada uno de los segmentos de recta. Este es el paso 3. 
  • Continúa repitiendo este proceso.
  1. ¿Cuál es el perímetro después del paso 2?, ¿después del paso 3?
  2. ¿Qué sucede con el perímetro, o la longitud de la línea que se traza a lo largo de la parte exterior de la figura, a medida que el proceso continúa?

Resumen

Hemos visto cómo los diagramas de cinta representan relaciones entre cantidades. A menudo podemos usar más de una ecuación para representar un diagrama de cinta, debido al significado y las propiedades de la suma y la multiplicación. 

Veamos dos diagramas de cinta.

Tape diagram, one large part labeled 26, four small equal parts labeled x, total 46.

Podemos describir este diagrama usando varias ecuaciones distintas. Estas son algunas de ellas:

  • \(26 + 4x=46\), porque las partes se suman para obtener el todo.
  • \(4x+26=46\), porque la suma es conmutativa.
  • \(46=4x+26\), porque si dos cantidades son iguales, no importa cómo las organicemos respecto al signo igual.
  • \(4x=46-26\), porque una parte (la parte formada por 4 \(x\)) es la diferencia entre el todo y la otra parte.
Tape diagram, four equal parts labeled, x + 9, total 76.

Para este diagrama:

  • \(4(x+9)=76\), porque la multiplicación significa tener varios grupos del mismo tamaño.
  • \((x+9)\boldcdot 4=76\), porque la multiplicación es conmutativa.
  • \(76\div4=x+9\), porque la división nos indica el tamaño de cada una de las partes iguales.

Entradas del glosario

  • expresiones equivalentes

    Dos expresiones numéricas son equivalentes si tienen el mismo valor. Dos expresiones con variables son equivalentes si, al remplazar la variable por cualquier número, siempre dan el mismo valor.

    Por ejemplo, \(2(7-3)+2\) es equivalente a \(\frac{35+5}{4}\), porque ambas expresiones valen 10. La expresión con variables \(3x+4x\) es equivalente a \(5x+2x\), porque sin importar qué valor le demos a \(x\), estas expresiones siempre valdrán lo mismo. Cuando \(x=3\), ambas expresiones valen 21. Cuando \(x=10\), ambas expresiones valen 70.