Lección 18

La resta en expresiones equivalentes

Encontremos maneras de trabajar con la resta en las expresiones. 

18.1: Conversación numérica: inversos aditivos

Encuentra mentalmente el resultado de cada suma o resta.

\text-30 + \text-10

\text- 10 + \text-30

\text- 30 - 10

10 - \text- 30

18.2: Una observación útil

Lin y Kiran están intentando calcular 7 \frac34 + 3 \frac56 - 1 \frac34. Esta es su conversación:

Lin: "Planeo sumar primero 7\frac34 y 3\frac56, así que tendré que empezar por encontrar fracciones equivalentes con un denominador común". 

Kiran: "Sería mucho más fácil si pudiéramos empezar trabajando con 1 \frac34 y 7 \frac34. ¿Podemos reescribir la expresión como 7 \frac34 + 1 \frac34 - 3 \frac56?".

Lin: "No puedes intercambiar el orden de los números en un problema resta como lo haces en la suma; 2-3 no es igual a 3-2".

Kiran: "Es cierto, pero, ¿recuerdas lo que aprendimos sobre reescribir expresiones de resta, usando la suma? 2-3 es igual a 2+(\text-3)".
  1. Escribe una expresión que sea equivalente a 7 \frac34 + 3 \frac56 - 1 \frac34 y que use la suma en vez de la resta.
  2. Si escribes los términos de tu nueva expresión en un orden diferente, ¿seguirá siendo equivalente? Explica tu razonamiento.

18.3: Organizar el trabajo

  1. Escribe dos expresiones para el área del rectángulo grande.

    Area diagram, 1 row, 3 columns. Beside the row, 1 over 2. Above the columns, 8 y,   x ,   12.

  2. Usa la propiedad distributiva para escribir una expresión que sea equivalente a \frac12(8y + \text-x + \text-12). Las cajas pueden ayudarte a organizar tu trabajo. 

    Area diagram, 1 row, 3 columns. Beside the row, 1 over 2, above the columns, 8 y, negative x, negative 12.

  3. Usa la propiedad distributiva para escribir una expresión que sea equivalente a \frac12(8y - x - 12).



Este es un calendario de abril de 2017. 

Escojamos una fecha: el 10. Mira los números que están arriba, abajo y a cada lado del 10: 3, 17, 9, 11.

  1. Promedia estos cuatro números. ¿Qué observas?
  2. Elige una fecha diferente que se encuentre en una ubicación que tenga una fecha arriba, abajo y a cada lado. Promedia estos cuatro números. ¿Qué observas?   
  3. Explica por qué la misma situación se dará con cualquier fecha que esté en una ubicación que tenga una fecha arriba, abajo y a cada lado.

Resumen

A veces puede ser complicado trabajar con restas o con números con signo. Podemos aplicar lo que sabemos sobre las relaciones entre la suma y la resta (que restar un número da el mismo resultado que sumar su opuesto) a nuestro trabajo con expresiones. Luego, podemos usar las propiedades de la suma que nos permiten sumar y agrupar en cualquier orden. Esto puede hacer que los cálculos sean más sencillos. Por ejemplo: 

\displaystyle \frac58 - \frac23 - \frac18

\displaystyle \frac58 + \text- \frac23 + \text-\frac18

\displaystyle \frac58 + \text-\frac18 + \text- \frac23

\displaystyle \frac48 + \text-\frac23

También podemos organizar el trabajo de multiplicar números con signo en las expresiones. El producto \frac32(6y-2x-8) se puede encontrar al dibujar un rectángulo que tiene al primer factor \frac32 en un lado, y los tres términos del paréntesis en el otro lado:

Area diagram, one row, 3 columns. To the left of the row, 3 over 2. Starting with the first column, 6 y, negative 2 x, negative 8.

Se multiplica \frac32 por cada término que conforma el lado horizontal y se hacen las multiplicaciones:

Two area diagrams. 

Se vuelven a armar las partes para obtener la versión ampliada de la expresión original: \displaystyle \frac32(6y-2x-8)=9y-3x-12